Натуральное число

текст.txt

Аксиомы

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его..

Введём функцию $S$, которая сопоставляет числу $x$ следующее за ним число.

1. $1\in\mathbb{N}$ ($1$ является натуральным числом);
2. Если $x \in \mathbb{N}$, то $S(x)\in\mathbb{N}$ (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
3. $\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)$ (1 не следует ни за каким натуральным числом);
4. Если $S(b)=a$ и $S(c)=a$, тогда $b=c$ (если натуральное число $a$ непосредственно следует как за числом $b$, так и за числом $c$, то $b=c$);
5. Аксиома индукции. Пусть $P(n)$ — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа $n$. Тогда:

если $P(1)$ и $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$, то $\forall n\;P(n)$

(Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ (база индукции) и для любого $n$ при допущении, что верно $P(n)$, верно и $P(n+1)$ (индукционное предположение), то $P(n)$ верно для любых натуральных $n$).

Замечание. Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют $1$ на $0$. В этом случае ноль считается натуральным числом.

Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

• $0=\varnothing$
• $S(n)=n\cup\left\{n\right\}$

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

• Вычитание. Уменьшаемое $-$ Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
• Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное $p$ и остаток $r$ от деления $a$ на $b$ определяются так: $a=p*b+r$, причём $0\leqslant r<p$. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе $a$ можно представить в виде $a=p*0+a$, т.е. можно было бы считать частным $0$, а остатком = $a$.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

1. Коммутативность сложения. $\,\! a + b = b + a$
2. Коммутативность умножения. $\,\! ab = ba$
3. Ассоциативность сложения. $\,\! (a + b) + c = a + (b + c)$
4. Ассоциативность умножения. $\,\! (ab)c = a(bc)$
5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. $\,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}$

Натуральные числа в русском языке

• Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).

• Числа от 11 до 20 — одиннадцать (11), двенадцать (12), тринадцать (13), четырнадцать (14), пятнадцать (15), шестнадцать (16), семнадцать (17), восемнадцать (18), девятнадцать (19), двадцать (20).

• Числа от 30 до 90 — тридцать (30), сорок (40), пятьдесят (50), шестьдесят (60), семьдесят (70), восемьдесят (80), девяносто (90).

• Числа от 100 до 900 — сто (100), двести (200), триста (300), четыреста (400), пятьсот (500), шестьсот (600), семьсот (700), восемьсот (800), девятьсот (900).

• Большие числа — тысяча, миллион, миллиард, триллион.

См. также

• Целое число
• Рациональное число
• Вещественное число

Ссылки

• http://Lib.Mexmat.Ru — «Поиск книг по теме»
• http://www.sgu.ru/ie/mehmat/matin/R1-1.htm

Шаблон:Категория только в статьях

Эта статья содержит материал из статьи Натуральное число русской Википедии.