Мультиномиальный коэффициент

Мультиномиальные коэффициенты — коэффициенты в разложении $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}$ по мономам $x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}$:

$(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1}\ k_{2}\ \dots \ k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}.$

Значение мультиномиального коэффициента ${n \choose k_{1}\ k_{2}\ \dots \ k_{m}}$ определено для всех целых неотрицательных чисел $n$ и $k_1,k_2,\dots,k_m$ таких, что $k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n$:

${n \choose k_{1}\ k_{2}\ \dots \ k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}$.

Биномиальный коэффициент ${n \choose k}$ для неотрицательных $n, k$ является частным случаем мультиномиального коэффициента (для $m = 2$), а именно

${n \choose k}={n \choose k\ n-k}$.

В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент ${n \choose k_{1}\ k_{2}\ \dots \ k_{m}}$ равен числу разбиений $n$-элементного множества на $m$ подмножеств мощностей $k_1,k_2,\dots,k_m$.

Свойства

$\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1}\ k_{2}\ \dots \ k_{m}}=m^{n}$

См. также

• Мультиномиальное распределение.

sv:Multinomialsatsen