Модуль непрерывности

Для любой функции, определённой на множестве E, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого $\omega _{f}(\delta )$. Модуль непрерывности тоже функция, по определению равная:

$sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|:(x_{1},x_{2}\in E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \}$,

или верхнюю грань колебаний функции по всем подотрезкам из E длиной меньше δ. Также в литературе встречаются другие обозначения $\omega (f,\delta )$ и (реже) $\omega (\delta ,f)$.

Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

• При любом δ она неотрицательна (очевидно);

• Функция не убывает (также очевидно);

• Функция полуаддитивна: $\omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leq \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2})$.

  Докажем:

  $\forall x_{1},x_{2}\in E(|x_{1}-x_{2}|\leq \delta _{1}+\delta _{2})\Rightarrow (\exists x':(|x'-x_{1}|\leq \delta _{1})\land (|x_{2}-x'|\leq \delta _{2})$.

  Тогда:

  |f(x₁)-f(x₂)| = |f(x₁)-f(x')+f(x')-f(x₂)|$\leq$|f(x₁)-f(x')|+|f(x')-f(x₂)|$\leq \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2})$, ч. т. д.

• В точке 0 доопределим модуль непрерывности: $\omega _{f}(0)=0(def)$.

• Если функция f определена на отрезке [a, b] и непрерывна на нём, то $\lim _{\delta \rightarrow 0+}{\omega _{f}(\delta )}=0$ (данный предел обозначается также $\omega _{f}(+0)$), и наоборот.
  • Пусть $\omega _{f}(+0)$=0; мы знаем, что функция неотрицательна, а значит,

    $(\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:0\leq \omega _{f}(\delta )<\varepsilon )\Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$
    при любых x₁ и x₂ из [a, b] таких, что расстояние между ними меньше δ. Если мы зафиксируем x₁, а x₂ будет варьироваться в пределах какой-нибудь окрестности x₁, мы увидим, что выписанное выражение является определением непрерывности функции в точке x₁, а поскольку вместо x₁ мы можем взять любую точку отрезка, получим, что f(x) непрерывна на нём.

    Докажем теперь обратное утверждение. Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке, как говорит нам теорема Кантора-Гейне. Запишем это утверждение в символьном виде:

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x_{1},x_{2}\in [a,b](|x_{1}-x_{2}|<\delta )\Rightarrow (|f(x_{1})-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}})$.

Тогда, как было сказано в определении модуля непрерывности,

$\omega _{f}(\delta )=sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|:(x_{1},x_{2}\in [a,b])\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \}$.

Но, как мы только что показали, :|f(x₁)-f(x₂)|<${\frac {\varepsilon }{2}}$, а стало быть, верхняя грань, которой является модуль непрерывности, меньше или равна ${\frac {\varepsilon }{2}}$ и уж точно меньше $\varepsilon$. Но, поскольку $\omega _{f}(\delta )$ не убывает, при 0<δ'<δ получим неравенство

$\omega _{f}(0)=0\leq \omega _{f}(\delta ')\leq \omega _{f}(\delta )<\varepsilon$, или $\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:(\delta '\in {\dot {U}}_{\delta }^{+}(0))\Rightarrow (\omega _{f}(\delta ')\in U_{\varepsilon }(0))$, что по определению означает существование предела модуля непрерывности в точке 0 справа, ч. т. д.

• Если f(x) непрерывна на [a, b], то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке [0, b-a].

  Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству $\omega _{f}(\delta )$ непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число h и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство: $0\leq \omega _{f}(\delta +h)-\omega _{f}(\delta )\leq \omega _{f}(h)$. При устремлении h к нулю справа крайние части неравенства стремятся к нулю, а значит, по 'теореме о двух милиционерах', и средняя часть (которая представляет собой приращение функции при положительном приращении аргумента) стремится к нулю, то есть предел функции в точке справа равен её значению в этой точке. Это означает непрерывность справа во всех точках [a, b]. Теперь, подставив в неравенство δ₁=δ-h, таким же образом получим непрерывность слева и равенство левых пределов правым в каждой точке отрезка, что и означает непрерывность $\omega _{f}(\delta )$ на всём отрезке.

Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

• принадлежность классам Липшица и Гёльдера
• гладкость
• дифференцируемость
• возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона-Стечкина)

и многих других.

Вариации и обобщения

Модули непрерывности высших порядков

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции $f$.

$\omega _{f}(\delta )=sup\{|\Delta _{h}^{1}(f,x)|:(x\in E)\land |h|<\delta \}.$.

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка $n$, то получим определение модуля непрерывности порядка $n$. Обычное обозначение для таких модулей — $\omega _{n}(f,\delta )$.

Свойства

1. Если $k$ — целое число, то $\omega _{n}(f,k\delta )\leqslant k^{n}\omega _{n}(f,\delta ).$

Неклассические модули непрерывности

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берется этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берется разностный оператор также зависить от точки. Подобные "неклассические" модули непрерывности находят свое применение в различных областях современной математики.