Математика
Advertisement

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности многочленов, названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва.

T1, T2, T3, T4, T5

Первая последовательность, , многочлен Чебышёва первого рода характеризуется как многочлен степени n > 1 со старшим коэффициентом 2n-1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [-1,1].

Вторая последовательность, , многочлен Чебышёва второго рода характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n, интеграл абсолютного значения которого по интервалу [-1,1] наименьший возможный.

Рекурсивное определение

Многочлены Чебышёва первого рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены Чебышёва второго рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Явные формулы

Многочлены Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

Однако, вычисление значений многочленов Чебышёва по этим формулам требует работы с комплексными числами при .

Тригонометрическое определение

Многочлены Чебышёва первого рода могут быть также определены с помощью равенства:

Многочлены Чебышёва второго рода могут быть также определены с помощью равенства:

Примеры

Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

Свойства

Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

  • Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).
  • Среди всех многочленов, значения которых на отрезке не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет:
    • наибольший старший коэффициент
    • наибольшее значение в любой точке
  • Нули полинома Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах.

Обобщения

Вопрос о мночленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.

См. также

Ссылки

nl:Chebyshev-polynoom pl:Wielomiany Czebyszewa

Advertisement