Многочлены Чебышёва

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности многочленов, названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва.

T₁, T₂, T₃, T₄, T₅

Первая последовательность, $T_{n}(x)$, многочлен Чебышёва первого рода характеризуется как многочлен степени n > 1 со старшим коэффициентом 2^n-1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [-1,1].

Вторая последовательность, $U_{n}(x)$, многочлен Чебышёва второго рода характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2ⁿ, интеграл абсолютного значения которого по интервалу [-1,1] наименьший возможный.

Рекурсивное определение

Многочлены Чебышёва первого рода $T_{n}(x)$ могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,$

Многочлены Чебышёва второго рода $U_{n}(x)$ могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,$

Явные формулы

Многочлены Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:

$T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1$

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

$T_{n}(x)+U_{n-1}(x){\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}.$

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

$T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k};$

$U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}.$

Однако, вычисление значений многочленов Чебышёва по этим формулам требует работы с комплексными числами при $|x|<1$.

Тригонометрическое определение

Многочлены Чебышёва первого рода $T_{n}(x)$ могут быть также определены с помощью равенства:

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta ).\,$

Многочлены Чебышёва второго рода $U_{n}(x)$ могут быть также определены с помощью равенства:

$U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.$

Примеры

Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{2}(x)=4x^{2}-1\,$

$U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,$

$U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,$

$U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,$

$U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,$

Свойства

Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

• Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ для многочленов первого рода и ${\sqrt {1-x^{2}}}$ для многочленов второго рода).
• Среди всех многочленов, значения которых на отрезке $[-1,1]$ не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет:
  • наибольший старший коэффициент
  • наибольшее значение в любой точке $a\geq 1$
• Нули полинома Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах.

Обобщения

Вопрос о мночленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.

См. также

• многочлены Фабера

Ссылки

• Васильев Н., Зелевинский А., Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения, Квант, № 1, 1982.

nl:Chebyshev-polynoom pl:Wielomiany Czebyszewa