Многочлены Фабера

Шаблон:Rq

Пусть $\ K$ — ограниченный континуум — ограниченное, не пустое, связное множество, содержащее более одной точки. И $g_\infty$ — это та из смежных с К областей, к которой принадлежит $z=\infty$. $g_{\infty}\equiv D$ — односвязная область расширенной плоскости, граница которой $\Gamma_{\infty}$ является частью континуума $\ K$.

Отобразим конформно область $g_\infty$ на внешность круга с центром в точке $\ w=0$ посредством функции $\ w = \Phi\ (z)$

Потребуем, чтобы выполнялось 2 условия: $\Phi\ (\infty)=\infty$

$\lim \Phi (z)/z=\gamma > 0$ при $z \rightarrow \infty$

которыми функция $\Phi\ (z)$ определяется единственным образом. Из этих условий следует, что функция $\ w = \Phi\ (z)$, являясь аналитической в области $\ D$, кроме точки $z=\infty$, имеет в точке $z=\infty$ простой полюс, и поэтому её лорановское разложение в некоторой окрестности точки $z=\infty$ имеет вид

$\Phi\ (z)=\gamma z + \gamma_0+\gamma_1 /z + \gamma_2 / z^2+...$

Рассмотрим величину $\Phi\ ^n(z)=(\gamma z + \gamma_0+\gamma_1 /z + \gamma_2 / z^2+...)^n$

Многочлены $\Phi_n(z)= \gamma^n z^n + a^{(n)}_{n-1}z^{n-1}+ a^{(n)}_{n-2}z^{n-2}+...++ a^{(n)}_{1}z + a^{(n)}_0$ представляющие в совокупности члены с неотрицательными степенями z в лорановских разложениях функции $\Phi\ (z)$ в окрестности бесконечно удаленной точки называются многочленами Фабера, порождёнными континуумом $\ K$.

Многочлены Чебышёва являются многочленами Фабера для континуума $\ K=[-1;1]$.

Литература

• Суетин П. К. Многочлены Фабера