Математика
Advertisement

В математике метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) (где обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x, y, z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

  1. d(x, y) ≥ 0
  2. d(x, y) = 0 x = y.
  3. d(x, y) = d(y, x)    (симметрия)
  4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)    (неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x. Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Примеры

  • Дискретная метрика: d(x,y) = 0, если x=y, и d(x,y) = 1 во всех остальных случаях.
  • Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d(x, y) = ||yx||, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского[1] (не надо путать с другим пространством Минковского).
  • Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
  • Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.
  • Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:
D(X, Y) = inf{r : для всех x в X существует y в Y с d(x, y) < r и для любого y в Y существует x в X такое, что d(x, y) < r)}.
  • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

Связанные определения

  • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу этого пространства.
  • Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x, y).
  • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:
B(x; r) = {y в M : d(x,y) < r},
где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество является открытым, если для любой точки найдётся положительное число , такое, что множество точек на расстоянии меньше от принадлежит .
  • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
  • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
  • Расстояние d(x,S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:
d(x,S) = inf{d(x,s) : sS}
Тогда d(x, S) = 0, только если x принадлежит замыканию S.
  • Иногда рассматривают метрики со значениями [0,∞]. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) или d''(x, y) = min(1, d(x, y))). Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

Свойства

  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
  • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
    • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
    • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.

Вариации и обобщения

Для данного множества , функция называется псевдометрикой на если для любых точек x, y, z из M она удовлетворяет следующим условиям:

  1. d(x, y) ≥ 0.
  2. d(x, x) = 0 .
  3. d(x, y) = d(y, x)    (симметрия)
  4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)    (неравенство треугольника).

То есть, в отличии от метрики, различные точки в могут находится на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве где .

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех x, y и z в M, d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)).

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства в своей работе Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74, в связи с рассмотрением функциональных пространств.

См. также

Литература

  1. К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Определение 11.2


Эта статья содержит материал из статьи Метрическое пространство русской Википедии.

Advertisement