Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается или иногда (в русской литературе). В статистике часто используют обозначение .
Определение[]
Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .
Основные формулы для математического ожидания[]
- Если — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:
- .
Математическое ожидание дискретного распределения[]
- Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение
- ,
то прямо из определения интеграла Лебега следует, что
- .
Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения[]
- Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью , равно
- .
Математическое ожидание случайного вектора[]
Пусть - случайный вектор. Тогда по определению
- ,
то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.
Математическое ожидание преобразования случайной величины[]
Пусть борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:
- ,
если имеет дискретное распределение;
- ,
если имеет абсолютно непрерывное распределение.
Если распределение случайной величины общего вида, то
- .
В специальном случае, когда , Математическое ожидание называется k-тым моментом случайной величины.
Простейшие свойства математического ожидания[]
- Математическое ожидание линейно, то есть
,
где — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы; - Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если почти наверное, и — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того
- ;
- Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то
- .
- Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
- .
Дополнительные свойства математического ожидания[]
- Неравенство Маркова;
- Теорема Леви о монотонной сходимости;
- Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
- Лемма Фату.kl;;l;
Примеры[]
- Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть Тогда её математическое ожидание
равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.
- Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда её плотность имеет вид и математическое ожидание равно
- .
- Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда
- ,
то есть математическое ожидание не определено.
См. также[]
- Дисперсия случайной величины;
- Моменты случайной величины;
- Условное математическое ожидание;
- Выборочное среднее.
Эта статья содержит материал из статьи Математическое ожидание русской Википедии.