Математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается $\mathbb {E} X$ или иногда $\operatorname {M} X$ (в русской литературе). В статистике часто используют обозначение $\mu$.

Определение

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и определённая на нём случайная величина $X$. То есть, по определению, $X:\Omega \to \mathbb {R}$ — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от $X$ по пространству $\Omega$, то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается $\mathbb {E} X$.

$\mathbb {E} X\equiv \int \limits _{\Omega }X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).$

Основные формулы для математического ожидания

• Если $F_{X}(x)$ — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

$\mathbb {E} X=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,dF_{X}(x)$.

Математическое ожидание дискретного распределения

• Если $X$ — дискретная случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

$\mathbb {E} X=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}$.

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

• Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью $f_{X}(x)$, равно

$\mathbb {E} X=\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,dx$.

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ - случайный вектор. Тогда по определению

$\mathbb {E} X=(\mathbb {E} X_{1},\ldots ,\mathbb {E} X_{n})^{\top }$,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ борелевская функция, такая что случайная величина $Y=g(X)$ имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

$\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i}$,

если $X$ имеет дискретное распределение;

$\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx$,

если $X$ имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение $\mathbb {P} ^{X}$ случайной величины $X$ общего вида, то

$\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)$.

В специальном случае, когда $g(X)=X^{k}$, Математическое ожидание $\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\mathbb {E} X^{k}$ называется k-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

• Математическое ожидание линейно, то есть
          $\mathbb {E} [aX+bY]=a\mathbb {E} X+b\mathbb {E} Y$,
  где $X,Y$ — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $a,b\in \mathbb {R}$ — произвольные константы;
• Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если $0\leq X\leq Y$ почти наверное, и $Y$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины $X$ также конечно, и более того

  $0\leq \mathbb {E} X\leq \mathbb {E} Y$;

• Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если $X=Y$ почти наверное, то

  $\mathbb {E} X=\mathbb {E} Y$.

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин $X,Y$ равно произведению их математических ожиданий

  $\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} X\cdot \mathbb {E} Y$.

Дополнительные свойства математического ожидания

• Неравенство Маркова;
• Теорема Леви о монотонной сходимости;
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
• Лемма Фату.kl;;l;

Примеры

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n}},\;i=1,\ldots ,n.$ Тогда её математическое ожидание

$\mathbb {E} X={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале $[a,b]$, где $a<b$. Тогда её плотность имеет вид $f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x)$ и математическое ожидание равно

$\mathbb {E} X=\int \limits _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}$.

• Пусть случайная величина $X$ имеет стандартное распределение Коши. Тогда

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X}(x)\,dx=\infty$,

то есть математическое ожидание $X$ не определено.

См. также

• Дисперсия случайной величины;
• Моменты случайной величины;
• Условное математическое ожидание;
• Выборочное среднее.

Эта статья содержит материал из статьи Математическое ожидание русской Википедии.