Математика
Advertisement

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов n-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.

Определение

Пусть дано поле элементы которого будем называть скалярами. Множество называется линейным или векторным пространством над а его элементы называются векторами, если на нём определены операции

  • векторного сложения обозначаемая где и
  • умножения вектора на скаляр обозначаемая где

удовлетворяющие следующим условиям:

  1. где - мультипликативная единица в

Простейшие свойства

  1. Нейтральный элемент является единственным.
  2. для любого .
  3. Для любого противоположный элемент является единственным.
  4. для любого .
  5. х и .

Связанные определения и свойства

  • Линейное подпространство или
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
  • Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
  • Элементы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
    • Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
  • Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.
  • Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
.

Примеры

Дополнительные структуры

См. также

Ссылки



Эта статья содержит материал из статьи Линейное пространство русской Википедии.

Advertisement