Линейное пространство

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов n-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.

Определение

Пусть дано поле $k,$ элементы которого будем называть скалярами. Множество $\mathcal{L}$ называется линейным или векторным пространством над $k,$ а его элементы называются векторами, если на нём определены операции

• векторного сложения $\mathcal{L} \times \mathcal{L} \to \mathcal{L},$ обозначаемая $x+y,$ где $x,y\in \mathcal{L},$ и
• умножения вектора на скаляр $k \times \mathcal{L} \to \mathcal{L},$ обозначаемая $\alpha x,$ где $\alpha \in k,\; x\in \mathcal{L},$

удовлетворяющие следующим условиям:

1. $\forall x,y\in \mathcal{L}\quad x+y = y+x.$
2. $\forall x,y,z\in \mathcal{L}\quad (x+y)+z = x+(y+z).$
3. $\exists \theta \in \mathcal{L}\; \forall x\in \mathcal{L} \quad x+\theta = x.$
4. $\forall x \in \mathcal{L}\; \exists -x\in \mathcal{L} \quad x + (-x) = \theta.$
5. $\forall \alpha,\beta \in k \; \forall x \in \mathcal{L} \quad \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x.$
6. $\forall x \in \mathcal{L}\quad 1 x = x,$ где $1$ - мультипликативная единица в $k.$
7. $\forall \alpha,\beta\in k \; \forall x \in \mathcal{L}\quad (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x.$
8. $\forall \alpha \in k\; \forall x,y\in \mathcal{L}\quad \alpha(x+y) = \alpha x + \alpha y.$

Простейшие свойства

1. Нейтральный элемент $\theta \in L$ является единственным.
2. $0\cdot\mathbf{x} = \theta$ для любого $\mathbf{x} \in L$.
3. Для любого $\mathbf{x} \in L$ противоположный элемент $-\mathbf{x} \in L$ является единственным.
4. $(-1)\mathbf{x} = -\mathbf{x}$ для любого $\mathbf{x} \in L$.
5. $(-\alpha)\mathbf{x} = \alpha(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})$ х $\alpha \in P$ и $\mathbf{x} \in L$.

Связанные определения и свойства

• Линейное подпространство или

называется линейной комбинацией элементов $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in L$ с коэффициентами $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in P$.

• Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
• Элементы $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу $\mathbf{0} \in L$. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
  • Бесконечное подмножество векторов из $L$ называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.
• Любые $n$ линейно независимых элементов $n$-мерного пространства образуют базис этого пространства.
• Любой вектор $\mathbf{x} \in L$ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

$\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n$.

Примеры

• Пространство функций $X\to P$ образует векторное пространство размерности равной мощности $X$.
• поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

Дополнительные структуры

• нормированное пространство
• топологическое линейное пространство
• евклидово пространство.

См. также

• Линейный оператор
• Сопряжённое пространство
• Выпуклый функционал
• Линейная оболочка

Ссылки

• Векторное пространство

Эта статья содержит материал из статьи Линейное пространство русской Википедии.