Линейное отображение

Лине́йным отображе́нием (лине́йным опера́тором) векторного пространства $L_K$ над полем $K$ в векторное пространство $M_K$ (над тем же полем $K$) называется отображение

$f:\,L_K\to M_K$,

удовлетворяющее условию линейности

$\,\! f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)$.

для всех $x,y\in L_K$ и $\alpha,\beta\in K$.

Важные частные случаи

• Линейный функционал — линейный оператор, для которого $M = K$:
      $f:L_K\to K$
• Эндоморфизм — линейный оператор, для которого $L=M$:
      $f:L_K\to L_K$
• Тождественный оператор — оператор $x \mapsto x$, отображающий каждый элемент пространства в себя.
• Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент $L_K$ в нулевой элемент $M_K$.

Связанные понятия

Ядром линейного отображения $f:\, A\to B$ называются подмножество A, которое отображается в нуль:

$\mbox{Ker} f = \{ x\in A: f(x) = 0 \}$

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве А.

Образом линейного отображения f называется следующее подмножество B:

$\mbox{Im} f = \{ f(x)\in B: x \in A \}$

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве B.

Отображение $f:\, A\times B \to C$ прямого произведения линейных пространств A и B в линейное пространство C называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств $f:\, A_1\times A_2\times...\times A_n \to B$ называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.

См. также

• Вполне непрерывный оператор
• Интегральный оператор Фредгольма
• Разностный оператор
• Сопряжённый оператор
• Спектр оператора
• Оператор (математика)
• Выпуклый функционал
• Изометрический оператор

cs:Lineární zobrazení da:Lineær transformation el:Γραμμικός μετασχηματισμός eo:Lineara bildigo he:טרנספורמציה לינארית hu:Lineáris leképezés nl:Lineaire transformatie no:Lineær transformasjon pl:Przekształcenie liniowe sv:Linjär operation ta:நேரியல் கோப்பு uk:Лінійний оператор ur:لکیری استحالہ vi:Biến đổi tuyến tính