Линейная функция

Файл:Linear functions2.PNG

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

$f(x) =kx+b.$

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является формальным выражением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией.

Свойства

• $k$ является тангенсом угла, под которым прямая пересекает ось абсцисс.
• При $k>0$, прямая образует острый угол с осью абсцисс.
• При $k<0$, прямая образует тупой угол с осью абсцисс.
• При $k=0$, прямая параллельна оси абсцисс
• $b$ является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При $b=0$, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция $n$ переменных $x=(x_1,x_2,..,x_n)$ — функция вида

$f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

где $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё $n$-мерное пространство переменных $x_1,x_2,..,x_n$ вещественных или комплексных. При $a_0=0$ линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные $x_1,x_2,..,x_n$ и коэффициенты $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в $(n + 1)$-мерном пространстве переменных $x_1,x_2,..,x_n, y$ является $n$-мерная гиперплоскость

$y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

в частности при $n=1$ — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства $X$ над некоторым полем $k$ в это поле, то есть для такого отображения $f: X\to k$, что для любых элементов $x,y \in X$ и любых $\alpha,\beta\in k$ справедливо равенство

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

причем в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины — линейный функционал и линейная форма.