Лемма о вложенных отрезках в математическом анализе — это фундаментальное утверждение, связанное с полнотой поля вещественных чисел.
Формулировка[]
Пусть дана последовательность вложенных отрезков то есть Тогда
- найдется хотя бы одна точка, принадлежащая всем этим отрезкам, то есть
- если длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна:
Замечание[]
Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,
Доказательство[]
Из определения о вложенных отрезках.
, что для любого ,
следовательно существует
, что для любого , и существует
Так как мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке и равны. Из этого следует,
Как нам известно ,
, е7е
Что и требовалось доказать.
Шаблон:Нет интервики