Курс линейной алгебры

• Система линейных уравнений (СЛУ), матрица СЛУ. Элементарные преобразования.
• Алгоритм Гаусса приведения матриц элементарными пробразованиями к ступенчатому виду.
• Анализ систем линейных уравнений.
• Однородные СЛУ, анализ однородных систем линейных уравнений.
• Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений.
• Определитель матрицы. Определение, формулы для определителя матриц 2-го и 3-го порядка. Определитель верхнетреугольной матрицы.
• Свойства определителя. Вычисление определителя при помощи элементарных преобразований. Определитель полураспавшейся матрицы.
• Миноры, алгебраические дополнения. Теорема о ранге матриц на языке миноров.
• Разложение определителя по строке и столбцу. Фальшивое разложение определителя.
• Теорема Крамера.
• Операции над матрицами и их свойства.
• Обратная матрица - определение и способы ее вычисления.
• Арифметическое линейное пространство. Линейная зависимость и независимость систем векторов.
• Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
• Критерий линейной зависимости. Алгоритм определения линейной зависимости системы векторов.
• База системы векторов. Теорема о равномощности баз. Понятие ранга системы векторов.
• Алгоритм нахождения базы и линейное выражение остальных векторов через базу.
• Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
• Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определенности СЛУ.
• Эквивалентные условия невырожденности матриц.
• Подпространство. Критерий подпространства.
• Линейная оболочка системы векторов, базис и размерность линейной оболочки.
• Множество решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о фундаментальной системе решений (ФСР).
• Геометрия векторных пространств. Система координат, репер.
• Понятие n-мерного евклидова пространства. Скалярное произведение, длина вектора, угол между векторами.
• Прямая на плоскости. Различные способы задания и свойства.
• Взаимное расположение прямых на плоскости, условия ортогональности и параллельности.
• Плоскости в вещественном пространстве, способы задания и свойства.
• Прямые в вещественном пространстве, способы задания и свойства.
• Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
• Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.

• Аффинные пространства - определение и примеры. Аффинная система координат, репер. Изменения координат при смене репера.
• Барицентрические координаты в аффинном пространстве.
• Аффинные оболочки множеств, аффинные подпространства и их свойства.
• Теоремы Чевы и Менелая.
• Аффинные линейные функции и их свойства.
• Выпуклые множества и выпуклые оболочки в аффинном пространстве. Пример - симплекс.
• Выпуклые тела и их свойства.
• Полуплоскость, полупространство, опорная полуплоскость выпуклого тела.
• Теорема отделимости выпуклых тел.
• Выпуклый многогранник, его грани и их свойства.
• Теорема Минковского-Вейля.
• Основная теорема линейного программирования и её приложения.
• Аффинные отображения аффинных пространств и их свойства.
• Описание движений аффинного пространства.
• Процесс ортогонализации Грама-Шмидта в евклидовом пространстве.
• Объёмы параллелепипедов в евклидовых пространствах.
• Векторное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве.
• Смешанное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве.
• Билинейные, квадратичные функции. Квадрики аффинного пространства.
• Приведение квадрик к каноническому виду ортогональными неоднородными заменами.
• Классификация кривых II порядка.
• Классификация поверхностей II порядка.
• Эллипс и его свойства.
• Гипербола и ее свойства.
• Парабола и ее свойства.
• Конические и цилиндрические сечения, геометрический смысл фокусов и директрис.
• Центральное проектирование с плоскости на плоскость и его свойства.
• Определение проективной плоскости.
• Геометрические свойства аффинной плоскости.
• Геометрические свойства проективной плоскости.
• Ограниченные модели аффинной и проективной плоскости. Пример: наименьшая аффинная плоскость. Пример: наименьшая проективная плоскость.

Литература

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1975.
• Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М. Наука, 1971.
• Кострикин А.И. Введение в алгебру, М. Наука, 1977.
• Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М. Наука, 1986.
• Винберг Э.Б. Курс алгебры. М. Факториал, 1999.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., 1982.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., 1988.
• Александров П.С. Лекции по аналитической геометриии: М., Наука, 1968
• Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии: М., Наука, 1980
• Моденов П.С. Сборник задач по аналитической геометрии: М., Наука, 1976
• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре: Учеб. пособие. М.: Наука, 1984. 336 с.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии.