Критерий согласия Колмогорова применяется для проверки статистических гипотез о законе распределения с известным видом распределения и известными параметрами.
Имеется выборка
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle X=(X_1,\ldots,X_n)}
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
H
1
=
{
F
=
F
1
}
{\displaystyle H_1 = \left \{ \mathcal{F}= \mathcal{F}_1 \right\}}
H
2
=
{
F
≠
F
1
}
{\displaystyle H_2 = \left\{ \mathcal{F} \not= \mathcal{F}_1 \right\}}
F
1
{\displaystyle \mathcal{F}_1}
F
1
{\displaystyle F_1\!\,}
ρ
(
X
)
=
n
sup
y
|
F
n
∗
(
y
)
−
F
1
(
y
)
|
{\displaystyle \rho (X) = \sqrt{n} \sup_y \left| F^*_n(y) - F_1(y) \right|}
Покажем, что
ρ
(
X
)
{\displaystyle \rho(X)\!\,}
Если
H
1
{\displaystyle H_1\!\,}
X
i
{\displaystyle X_i\!\,}
F
1
{\displaystyle \mathcal{F}_1}
теореме Колмогорова
ρ
(
X
)
⇒
η
{\displaystyle \rho(X) \Rightarrow \eta}
η
{\displaystyle \eta\!\,}
Если гипотеза
H
1
{\displaystyle H_1\!\,}
X
i
{\displaystyle X_i\!\,}
F
2
{\displaystyle \mathcal{F}_2}
F
1
{\displaystyle \mathcal{F}_1}
теореме Гливенко-Кантелли
F
n
∗
(
y
)
⟶
p
F
2
(
y
)
{\displaystyle F^*_n(y) \stackrel{p}{\longrightarrow} F_2(y)}
y
{\displaystyle y\!\,}
n
→
1
{\displaystyle n \rightarrow \mathcal{1}}
F
1
≠
F
2
{\displaystyle \mathcal{F}_1 \not= \mathcal{F}_2}
y
0
{\displaystyle y_0\!\,}
|
F
2
(
y
0
)
−
F
1
(
y
0
)
|
>
0
{\displaystyle \left| F_2(y_0) - F_1(y_0) \right| > 0}
sup
y
|
F
n
∗
(
y
)
−
F
1
(
y
)
|
⩾
|
F
n
∗
(
y
0
)
−
F
1
(
y
0
)
|
⟶
p
|
F
2
(
y
0
)
−
F
1
(
y
0
)
|
>
0
{\displaystyle \sup_y \left| F^*_n(y) - F_1(y) \right| \geqslant \left| F^*_n(y_0) - F_1(y_0) \right| \stackrel{p}{\longrightarrow} \left| F_2(y_0) - F_1(y_0) \right| > 0}
Умножая на
n
{\displaystyle \sqrt{n}}
n
→
1
{\displaystyle n \rightarrow \mathcal{1}}
ρ
(
X
)
=
n
sup
y
|
F
n
∗
(
y
)
−
F
1
(
y
)
|
⟶
p
1
{\displaystyle \rho (X) = \sqrt{n} \sup_y \left| F^*_n(y) - F_1(y) \right| \stackrel{p}{\longrightarrow} \mathcal{1}}
Файл:Kolmogorov01.png График функции К(у)
Пусть случайная величина
η
{\displaystyle \eta\!\,}
K
(
y
)
=
∑
j
=
−
1
1
(
−
1
)
j
e
−
2
j
2
y
2
,
y
>
0
{\displaystyle K(y) = \sum_{j=-\mathcal{1}}^\mathcal{1} (-1)^j e^{-2j^2y^2}, y > 0}
Это распределение табулировано, так что по заданному
ε
{\displaystyle \varepsilon\!\,}
C
{\displaystyle C\!\,}
ε
=
P
(
η
⩾
C
)
{\displaystyle \varepsilon = \mathsf{P}(\eta \geqslant C)}
Критерий Колмогорова выглядит следующим образом:
δ
(
X
)
=
{
H
1
,
if
ρ
(
X
)
<
C
H
2
,
if
ρ
(
X
)
⩾
C
{\displaystyle \delta(X)=\left\{\begin{matrix} H_1, & \mbox{if } \rho(X) < C \\ H_2, & \mbox{if } \rho(X) \geqslant C \end{matrix}\right.}
nl:Kolmogorov-Smirnovtoets
su:Uji Kolmogorov-Smirnov
