пусть
p
>
2
{\displaystyle p>2}
простое.
Число a, взаимно простое с
p
{\displaystyle p}
, является квадратичным вычетом по модулю
p
{\displaystyle p}
тогда и только тогда, когда
a
(
p
−
1
)
/
2
≡
1
mod
p
{\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv 1\mod p}
и является квадратичным невычетом по модулю p тогда и только тогда, когда
a
(
p
−
1
)
/
2
≡
−
1
mod
p
{\displaystyle a^{(p-1)/2} \equiv -1 \mod p}
Критерий Эйлера/рамка
Доказательство [ ]
1. Пусть
a
{\displaystyle a}
— ненулевой остаток по модулю
p
{\displaystyle p}
.
Обозначим через
x
{\displaystyle x}
следующий остаток по модулю
p
{\displaystyle p}
:
x
≡
a
(
p
−
1
)
/
2
mod
p
{\displaystyle x \equiv a^{(p-1)/2} \mod p}
Тогда по малой теореме Ферма
x
2
≡
1
mod
p
{\displaystyle x^2 \equiv 1 \mod p }
Поэтому
x
2
−
1
≡
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
≡
0
mod
p
{\displaystyle x^2-1 \equiv (x-1)(x+1) \equiv 0 \mod p}
Таким образом
x
{\displaystyle x}
сравним либо с
1
{\displaystyle 1}
либо с
−
1
{\displaystyle -1}
по модулю
p
{\displaystyle p}
. То есть
a
(
p
−
1
)
/
2
≡
1
mod
p
{\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv 1\mod p}
либо
a
(
p
−
1
)
/
2
≡
−
1
mod
p
{\displaystyle a^{(p-1)/2} \equiv -1 \mod p}
2. Пусть
a
{\displaystyle a}
является квадратичным вычетом по модулю
p
{\displaystyle p}
.
Тогда существует такое число
x
{\displaystyle x}
, что
x
2
≡
a
mod
p
{\displaystyle x^2\equiv a \mod p}
Поэтому
a
(
p
−
1
)
/
2
≡
x
p
−
1
≡
1
mod
p
{\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv x^{p-1}\equiv 1 \mod p}
(по малой теореме Ферма ).
3. Рассмотрим многочлен
x
(
p
−
1
)
/
2
−
1
mod
p
{\displaystyle x^{(p-1)/2}-1 \mod p}
Как доказано выше, любой квадратичный вычет является его корнем. Так как число
p
{\displaystyle p}
— простое, то остатки по модулю
p
{\displaystyle p}
образуют поле , поэтому многочлен не может иметь по модулю
p
{\displaystyle p}
больше корней чем его степень. Так как число квадратичных вычетов равно
(
p
−
1
)
/
2
{\displaystyle (p-1)/2}
, то они и только они являются корнями многочлена
x
(
p
−
1
)
/
2
−
1
mod
p
{\displaystyle x^{(p-1)/2}-1 \mod p}
Поэтому, если
a
{\displaystyle a}
является квадратичным невычетом по модулю
p
{\displaystyle p}
, то
a
(
p
−
1
)
/
2
≡
−
1
mod
p
{\displaystyle a^{(p-1)/2} \equiv -1 \mod p}
.
См. также [ ]