Композиция функций

Компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) в математике — это применение одной функции к результату другой.

Определение

Пусть $F:X\to Y$ и $G:F(X)\subset Y\to Z$ две функции. Тогда их композицией называется функция $G\circ F:X\to Z$, определённая равенством:

$G\circ F(x)=G(F(x)),\;x\in X$.

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

$(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)$.

• Если $F=\mathrm {id} _{X}$ — тождественное отображение на $X$, то есть

$F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X$,

то

$G\circ \mathrm {id} _{X}=G$.

• Если $G=\mathrm {id} _{Y}$ — тождественное отображение на $Y$, то есть

$G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y$,

то

$\mathrm {id} _{Y}\circ F=F$.

• Рассмотрим пространство всех биекций множества $X$ на себя и обозначим его ${\mathcal {F}}_{X}$. То есть если $F\in {\mathcal {F}}_{X}$, то $F:X\to X$ — биекция. Тогда композиция функций из ${\mathcal {F}}_{X}$ является бинарной операцией, а $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$ — группой. $\mathrm {id} _{X}$ является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу $F\in {\mathcal {F}}_{X}$ является $F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}$ — обратная функция.
• Группа $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$, вообще говоря, не коммутативна, то есть $F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}$.

Дополнительные свойства

• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ — топологические пространства. Пусть $f:X\to Y$ и $g:f(X)\subset Y\to Z$ две функции, $y_{0}=f(x_{0}),\;f\in C(x_{0}),\;g\in C(y_{0})$. Тогда $g\circ f\in C(x_{0})$.

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Нехай $f,g:\in \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;y_{0}=f(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$. Тоді $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$, і

$(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.

bs:Kompozicija funkcija cs:Skládání zobrazení da:Sammensat funktion he:הרכבת פונקציות hr:Kompozicija funkcija pl:Złożenie funkcji uk:Композиція функцій