Компактификация

В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.

Формально компактификация пространства $X$ определяется как пара $(Y,f)$, где $Y$ компактно, $f: X \to Y$ гомеоморфизм на свой образ $f(X)$ и $f(X)$ плотно в $Y$.

На компактификациях некоторого фиксированного пространства $X$ можно ввести частичный порядок. Положим $f_1 \leq f_2$ для двух компактификаций $f_1: X \to Y_1$, $f_2: X \to Y_2$, если существует непрерывное отображение $g: Y_2 \to Y_1$ такое, что $g f_2 = f_1$. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна-Чеха и обозначается $\beta X$. Для того, чтобы у пространства $X$ существовала компактификация Стоуна-Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, достаточно, чтобы $X$ удовлетворяло аксиоме отделимости $T_{3\frac{1}{2}}$.

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть $Y=X \cup \{\infty\}$ и открытыми множествами в $Y$ считаются все открытые множества $X$, а также множества вида $O \cup \{\infty\}$, где $O \subseteq X$ имеет компактное (в $X$) дополнение. $f$ берётся как естественное вложение $X$ в $Y$. $(Y,f)$ тогда компактификация, причём $Y$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда $X$ хаусдорфово и локально компактно.

Примеры одноточечной компактификации

$\R \cup \{\infty\}$ с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Не трудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соотвествующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, т.к. окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с $\R$ (пример гомеоморфизма - стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с $\R \cup \{\infty\}$. Аналогично, $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ гомеоморфно c n-мерной гиперсферой. he:קומפקטיפיקציה pl:Uzwarcenie przestrzeni