В абстрактной алгебре, кольцо́ — естественное обобщение целых чисел. Чуть точнее, это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел.
Определения
Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:
- коммутативность сложения; —
- ассоциативность сложения; —
- — существование нейтрального элемента относительно сложения;
- — существование обратного элемента относительно сложения;
- дистрибутивность. —
Кольца могут обладать следующими свойствами:
- ассоциативность умножения: (ассоциативное кольцо);
- наличие единицы: (кольцо с единицей);
- коммутативность умножения: (коммутативное кольцо);
- отсутствие делителей нуля: .
Обычно под кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей.
Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).
Связанные определения
- Непустое подмножество назывется подкольцом , если само является кольцом относительно операций, определенных в .
- Ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
- Коммутативное тело называется полем.
Примеры
- целые числа (с обычным сложением и умножением). —
- вычетов по модулю натурального числа n. — кольцо
- рациональных чисел, являющееся полем. — кольцо
- вещественных чисел, являющееся полем. — кольцо
- многочленов от n переменных над полем . — кольцо
- Кольцо когомологий
См. также
- Алгебра над кольцом
- Модуль над кольцом
- Простое кольцо
- Полупростое кольцо
- Кольцо главных идеалов
- Артиново кольцо
- Нётерово кольцо
- Первичное кольцо
- Полупервичное кольцо
- Цепное кольцо
- Полуцепное кольцо
- Дистрибутивное кольцо
- Кольцо Безу
- Локальное кольцо
- Полулокальное кольцо
- Дифференцирование кольца
Каугурское кольцо
Эта статья содержит материал из статьи Кольцо русской Википедии.