Математика
Advertisement

В абстрактной алгебре, кольцо́ — естественное обобщение целых чисел. Чуть точнее, это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел.

Определения

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

  1. коммутативность сложения;
  2. ассоциативность сложения;
  3. — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. — существование обратного элемента относительно сложения;
  5. дистрибутивность.

Кольца могут обладать следующими свойствами:

  • ассоциативность умножения: (ассоциативное кольцо);
  • наличие единицы: (кольцо с единицей);
  • коммутативность умножения: (коммутативное кольцо);
  • отсутствие делителей нуля: .

Обычно под кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей.

Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).

Связанные определения

  • Непустое подмножество назывется подкольцом , если само является кольцом относительно операций, определенных в .
  • Ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
  • Коммутативное тело называется полем.

Примеры

См. также

  • Алгебра над кольцом
  • Модуль над кольцом
  • Простое кольцо
  • Полупростое кольцо
  • Кольцо главных идеалов
  • Артиново кольцо
  • Нётерово кольцо
  • Первичное кольцо
  • Полупервичное кольцо
  • Цепное кольцо
  • Полуцепное кольцо
  • Дистрибутивное кольцо
  • Кольцо Безу
  • Локальное кольцо
  • Полулокальное кольцо
  • Дифференцирование кольца

Каугурское кольцо

Эта статья содержит материал из статьи Кольцо русской Википедии.

Advertisement