Ковариация

Ковариа́ция в теории вероятностей — это мера линейной зависимости случайных величин.

Определение

Пусть $X, Y$ — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:

$\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E} \left[(X - \mathbb{E}X) (Y - \mathbb{E}Y)\right]$,

в предположении, что все математические ожидания в правой части определены.

Замечания

• Если $X,Y\in L^2$, то есть имеют конечный второй момент, то ковариация определена и конечна.
• В гильбертовом пространстве несмещённых случайных величин с конечным вторым моментом $L^2_0 \equiv \{X \in L^2 \mid \mathbb{E}X = 0 \}$ ковариация имеет вид $\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY]$ и играет роль скалярного произведения.

Свойства ковариации

• Ковариация симметрична:

$\mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{cov}(Y,X)$.

• В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как

$\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y]$.

• Пусть $X_1,\ldots ,X_n$ случайные величины, а $Y_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; Y_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j X_j$ их две произвольные линейные комбинации. Тогда

$\mathrm{cov}(Y_1,Y_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j \mathrm{cov}(X_i,X_j)$.

В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.

• Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии:

$\mathrm{cov}(X,X) = \mathrm{D}[X]$.

• Если $X, Y$ независимые случайные величины, то

$\mathrm{cov}(X,Y) = 0$.

Обратное, вообще говоря, неверно.

• Неравенство Коши — Буняковского:

$\mathrm{cov}^2(X,Y) \leq \mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y]$.

См. также

cov(X+Y,Z )=cov(X,Z)*cov(Y,Z)

• Независимость
• Корреляция
• Коэффициент корреляции

da:Kovarians he:שונות משותפת no:Kovarians pl:Kowariancja su:Kovarian sv:Kovarians vi:Hiệp phương sai