Кватернион

Кватернио́ны (Шаблон:Lang-en) — это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году.

Умножение кватернионов не коммутативно, они образуют тело, которое обычно обозначается $\mathbb {H}$ .

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики. ^[1]

Определения

Вектор-скаляр

Кватернион представляет собой пару <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%28a%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%20%29%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> где <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Cvec%7Bu%7D%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> вектор трёхмерного пространства и <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3Ea%5C%5C%2C%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> скаляр, т. е. <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Вещественное число">вещественное число</a>. Операции сложения определены следующим образом:

Произведение должно быть <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%7C%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Дистрибутивность">дистрибутивно</a> и

где <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Ccdot%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> обозначает <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0430%5Cu043b%5Cu044f%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0430%5Cu043b%5Cu044f%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0430%5Cu043b%5Cu044f%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Скалярное произведение">скалярное произведение</a> и <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Ctimes%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043a%5Cu0442%5Cu043e%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043a%5Cu0442%5Cu043e%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043a%5Cu0442%5Cu043e%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Векторное произведение">векторное произведение</a>. <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0410%5Cu043d%5Cu0442%5Cu0438%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%7C%5Cu0410%5Cu043d%5Cu0442%5Cu0438%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Коммутативность" class="mw-redirect">Антикоммутативность</a> векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Матричное

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

{\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},

здесь ${\bar {\alpha }}$ и ${\bar {\beta }}$ обозначают комплексно-сопряжённые числа к $\,\alpha$ и $\,\beta$ .

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

{\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}.

Стандартное

Кватернионы можно определить как формальную сумму $\,a+bi+cj+dk$ где $\,a,b,c,d$ есть четвёрка вещественных чисел и $\,i,j,k$ «мнимые единицы» с вот такой таблицей умножения:

·	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$\,1$	$\,i$	$\,j$	$\,k$
$i$	$\,i$	$\,-1$	$\,k$	$\,-j$
$j$	$\,j$	$\,-k$	$\,-1$	$\,i$
$k$	$\,k$	$\,j$	$\,-i$	$\,-1$

например $\,ij=k$ , a $\,ji=-k$ .

Связанные определения

Для кватерниона

\,q=a+bi+cj+dk

,

кватернион $\,a$ называется скалярной частью $\,q$ , а кватернион $\,v=bi+cj+dk$ — векторной чатью. Если $\,v=0$ то кватернион называется чисто скалярным, а при $\,a=0$ чисто векторным. Kватернион

{\bar {q}}=a-bi-cj-dk

называется сопряженным к $\,q$ . Так же как и для комплексных чисел

|q|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}

называется модулем $\,q$ . Если $\,|q|=1$ то $\,q$ называется единичным кватернионом. Из тождества четырёх квадратов вытекает, что $|p\cdot q|=|p|\cdot |q|$ , иными словами кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Кватернионы и повороты пространства

Кватернионы образуют четырёхмерное евклидово пространство. Любой поворот этого пространства относительно $\,0$ может быть записан в виде $q\mapsto \xi q\zeta$ , где $\,\xi$ и $\,\zeta$ пара единичных кватернионов, при этом пара $\,(\xi ,\zeta )$ определяется с точностью до знака то есть один поворот определяют в точности две пары $\,(\xi ,\zeta )$ и $\,(-\xi ,-\zeta )$ . В частности из этого следует что группа Ли $SO(\mathbb {R} ,4)$ поворотов $\mathbb {R} ^{4}$ есть факторгруппа $S^{3}\times S^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ , где $\,S^{3}$ обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное евклидово пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно $\,0$ может быть записан в виде $v\mapsto \xi v{\bar {\xi }}$ , где $\,\xi$ некоторый единичный кватернион. Соответственно, $SO(\mathbb {R} ,3)=S^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ , в частности $SO(\mathbb {R} ,3)$ диффеоморфно $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{3}$ .

Целые кватернионы

Целыми принято называть кватернионы $\,a+bi+cj+dk$ такие, что все $\,a,b,c,d$ — целые или все $a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}},c+{\frac {1}{2}},d+{\frac {1}{2}}$ — целые.

Существует 24 целых единичных кватерниона:

\pm 1

,

\pm i

,

\pm j

,

\pm k

,

{\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2}}

,

они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра. Для целых кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики, то есть любой кватернион может быть записан в виде произведения простых кватернионов (притом единственным образом) по модулю домножения на единицы; например, если $\,q=p_{1}p_{2}p_{3}$ , где $\,p_{1},p_{2},p_{3}$ — простые, то

q=(p_{1}\epsilon _{1})({\bar {\epsilon }}_{1}p_{2}\epsilon _{2})({\bar {\epsilon }}_{2}p_{3})

также разложение на простые сомножители $\,(p_{1}\epsilon _{1})$ , $({\bar {\epsilon }}_{1}p_{2}\epsilon _{2})$ , $({\bar {\epsilon }}_{2}p_{3})$ . Забавно то, что в этом разложении порядок простых кватернионов также единственный.

Источники

↑ Кватернионы в программировании игр

Ссылки

Мищенко А., Соловьев Ю., Кватернионы Квант, N9, 1983.

Шаблон:Категория только в статьях

ca:Quaternió cs:Kvaternion da:Kvaternioner el:Τετραδόνιο fa:چهارگان‌ها he:חוג הקווטרניונים hu:Kvaterniók ia:Quaternion is:Fertölur lmo:Quaterniú lt:Kvaternionas nl:Quaternion no:Kvaternioner pl:Kwaterniony sl:Kvaternion sr:Кватернион sv:Kvaternion uk:Кватерніони

[1] Кватернионы в программировании игр

[1]

п·о·р Числа
Счётные множества
Натуральные числа ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) • Целые ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) • Рациональные ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) • Алгебраические ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числа и их расширения
Вещественные ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) • Комплексные ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) • Кватернионы ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) • Седенионы ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гиперреальные • Шаблон:Нп5
Инструменты расширения числовых систем
Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица
Иерархия чисел
Шаблон:Иерархия чисел
Другие числовые системы
Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также
Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион
Степени тысячи
ТысячаМиллионМиллиардБиллионТриллионКвадриллион…*Центиллион
Древнерусские числа
МириадаЛакхКрорГуголАсанкхейя*Гуголплекс
Прочие степени десяти
МириадаЛакхКрорГуголАсанкхейя*Гуголплекс
Степени двенадцати
ДюжинаГроссМасса
Прочие целые
01Чёртова дюжинаЧисло зверяЧисло Рамануджана — ХардиЧисло ГрэмаЧисло Скьюза*Число Мозера
Прочие числа
Пиe (число Эйлера)φ (Золотое сечение)Серебряное сечениеПостоянная Эйлера — МаскерониПостоянные ФейгенбаумаПостоянная ГельфондаКонстанта БрунаПостоянная КаталанаПостоянная АпериМнимая единица