Математика
Advertisement

Кватернио́ны (Шаблон:Lang-en) — это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году.

Умножение кватернионов не коммутативно, они образуют тело, которое обычно обозначается .

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики. [1]

Определения

Вектор-скаляр

Кватернион представляет собой пару <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%28a%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%20%29%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> где <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Cvec%7Bu%7D%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> вектор трёхмерного пространства и <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3Ea%5C%5C%2C%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> скаляр, т. е. <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Вещественное число">вещественное число</a>. Операции сложения определены следующим образом:

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%28a%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%20%29%2B%20%28b%20%2C%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3D%20%28a%20%2B%20b%20%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%20%2B%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%20%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

Произведение должно быть <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%7C%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Дистрибутивность">дистрибутивно</a> и

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%28a%2C%200%29%280%2C%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3D%280%2C%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%28a%2C%200%20%29%3D%20%280%2C%20a%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />
<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%28a%2C%200%29%28b%2C%200%29%3D%28ab%2C%200%29%5C%5C%2C%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />
<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%280%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%20%29%280%2C%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3D%20%28%20-%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%5C%5Ccdot%5C%5Cvec%7Bv%7D%20%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%5C%5Ctimes%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

где <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Ccdot%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> обозначает <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0430%5Cu043b%5Cu044f%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0430%5Cu043b%5Cu044f%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0430%5Cu043b%5Cu044f%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Скалярное произведение">скалярное произведение</a> и <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Ctimes%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043a%5Cu0442%5Cu043e%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043a%5Cu0442%5Cu043e%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043a%5Cu0442%5Cu043e%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Векторное произведение">векторное произведение</a>. <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0410%5Cu043d%5Cu0442%5Cu0438%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%7C%5Cu0410%5Cu043d%5Cu0442%5Cu0438%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Коммутативность" class="mw-redirect">Антикоммутативность</a> векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Матричное

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа к и .

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

Стандартное

Кватернионы можно определить как формальную сумму где есть четвёрка вещественных чисел и «мнимые единицы» с вот такой таблицей умножения:

·

например , a .

Связанные определения

Для кватерниона

,

кватернион называется скалярной частью , а кватернион  — векторной чатью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при чисто векторным. Kватернион

называется сопряженным к . Так же как и для комплексных чисел

называется модулем . Если то называется единичным кватернионом. Из тождества четырёх квадратов вытекает, что , иными словами кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Кватернионы и повороты пространства

Кватернионы образуют четырёхмерное евклидово пространство. Любой поворот этого пространства относительно может быть записан в виде , где и пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака то есть один поворот определяют в точности две пары и . В частности из этого следует что группа Ли поворотов есть факторгруппа , где обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное евклидово пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно может быть записан в виде , где некоторый единичный кватернион. Соответственно, , в частности диффеоморфно .

Целые кватернионы

Целыми принято называть кватернионы такие, что все  — целые или все  — целые.

Существует 24 целых единичных кватерниона:

,, , , ,

они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра. Для целых кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики, то есть любой кватернион может быть записан в виде произведения простых кватернионов (притом единственным образом) по модулю домножения на единицы; например, если , где  — простые, то

также разложение на простые сомножители , , . Забавно то, что в этом разложении порядок простых кватернионов также единственный.

Источники

Ссылки


Шаблон:Категория только в статьях

ca:Quaternió cs:Kvaternion da:Kvaternioner el:Τετραδόνιο fa:چهارگان‌ها he:חוג הקווטרניונים hu:Kvaterniók ia:Quaternion is:Fertölur lmo:Quaterniú lt:Kvaternionas nl:Quaternion no:Kvaternioner pl:Kwaterniony sl:Kvaternion sr:Кватернион sv:Kvaternion uk:Кватерніони

Advertisement