Квантиль

Кванти́ль (или проценти́ль) в математической статистике - число, такое что заданная случайная величина превышает его лишь с фиксированной вероятностью.

Определение

Пусть есть вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, и $\mathbb{P}^X$ - вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины $X$. Пусть фиксировано $\alpha\in[0,1]$. Тогда $\alpha$-квантилью (или квантилью уровня $\alpha$) распределения $\mathbb{P}^X$ называется число $x_{\alpha} \in \mathbb{R}$, такое что

$\mathbb{P}^X((-\infty,x_{\alpha}]) \equiv \mathbb{P}(X\le x_{\alpha}) = \alpha$.

Замечания

• Если распределение непрерывно, то $\alpha$-квантиль однозначно задаётся уравнением

$F_X(x_{\alpha}) = \alpha$,

где $F _X$- функция распределения $\mathbb{P}^X$ .

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:

$\mathbb{P}\left(x_{\frac{1 - \alpha}{2}} \le X \le x_{\frac{1+\alpha}{2}} \right) = \alpha$.

Медиана и квартили

• $0.25$-квантиль называется первой (или нижней) квартилью;
• $0.5$-квантиль называется медианой или второй квартилью;
• $0.75$-квантиль называется третьей (или верхней) квартилью.

Примеры

• Квантили нормального распределения;
• Квантили распределения Стьюдента;
• Квантили распределения хи-квадрат.