Файл:Tangent to a curve.svg График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)
Каса́тельная пряма́я в математическом анализе — прямая, проходящая через точку графика функции и имеющая такой же наклон.
Определение[]
- Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки
, и дифференцируема в ней:
. Касательной прямой к графику функции
в точке
называется график линейной функции, задаваемой уравнением

- Если функция
имеет в точке
бесконечную производную
то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

Замечание[]
Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку
. Угол наклона касательной прямой
удовлетворяет уравнению

где
обозначает тангенс.
Касательная как предельное положение секущей[]
Файл:Derivative.gif
Пусть
и
Тогда прямая линия, проходящая через точки
и
задаётся уравнением

Эта прямая проходит через точку
для любого
и её угол наклона
удовлетворяет уравнению

В силу существования производной функции
в точке
переходя к пределу при
получаем, что существует предел

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

Прямая, проходящая через точку
и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий
задаётся уравнением касательной:

Односторонние полукасательные[]
- Если существует правая производная
то пра́вой полукаса́тельной к графику функции
в точке
называется луч

- Если существует левая производная
то ле́вой полукаса́тельной к графику функции
в точке
называется луч

- Если существует бесконечная правая производная
то правой полукасательной к графику функции
в точке
называется луч

- Если существует бесконечная левая производная
то правой полукасательной к графику функции
в точке
называется луч

См. также[]