Инъекция

Инъекция - это функция, которая переводит разные элементы в разные образы.

Инъективная функция.

Определение

Отображение $f:X\to Y$ называется инъекцией (также вложением или отображением в $Y$), если разные элементы множества $X$ переводятся в разные элементы множества $Y$:

$\forall x_{1},x_{2}\in X\quad {\bigl (}x_{1}\neq x_{2}{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}f(x_{1})\neq f(x_{2}){\bigr )}.$

Замечания

• Эквивалентно, отображение является инъекцией, если

  ${\bigl (}f(x_{1})=f(x_{2}){\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}x_{1}=x_{2}{\bigr )}.$

• Отображение $f$ инъективно тогда и только тогда, когда для него существует левое обратное:

$\exists g:Y\to X\quad g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ где $\circ$ обозначает композицию, а $\operatorname {id} _{X}$ - тождественное отображение на $X.$

Примеры

1. $f:\mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,f(x)=\ln x$ — инъективно.
2. $f:\mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} _{\geq 0},f(x)=x^{2}$ — биективно.
3. $f:\mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}$ — не является инъективным, так как

   $f(-2)=f(2)=4.$

См. также

• Сюръекция;
• Биекция.

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004 — 336 с. — ISBN 5-8114-0535-2

Эта статья содержит материал из статьи Инъекция русской Википедии.