Инъекция

Инъекция - это функция, которая переводит разные элементы в разные образы.

Определение

Отображение $f:X\to Y$ называется инъекцией (также вложением или отображением в $Y$ ), если разные элементы множества $X$ переводятся в разные элементы множества $Y$ :

\forall x_{1},x_{2}\in X\quad {\bigl (}x_{1}\neq x_{2}{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}f(x_{1})\neq f(x_{2}){\bigr )}.

Замечания

Эквивалентно, отображение является инъекцией, если
${\bigl (}f(x_{1})=f(x_{2}){\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}x_{1}=x_{2}{\bigr )}.$
Отображение $f$ инъективно тогда и только тогда, когда для него существует левое обратное:

\exists g:Y\to X\quad g\circ f=\operatorname {id} _{X},

где

\circ

обозначает композицию, а

\operatorname {id} _{X}

- тождественное отображение на

X.

Примеры

$f:\mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,f(x)=\ln x$ — инъективно.
$f:\mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} _{\geq 0},f(x)=x^{2}$ — биективно.
$f:\mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}$ — не является инъективным, так как
$f(-2)=f(2)=4.$