Инъекция

Инъекция - это функция, которая переводит разные элементы в разные образы.

Инъективная функция.

Определение

Отображение $f: X \to Y$ называется инъекцией (также вложением или отображением в $Y$), если разные элементы множества $X$ переводятся в разные элементы множества $Y$:

$\forall x_1,x_2\in X \quad \bigl( x_1 \neq x_2 \bigr) \Rightarrow \bigl( f(x_1) \neq f(x_2) \bigr).$

Замечания

• Эквивалентно, отображение является инъекцией, если

  $\bigl( f(x_1) = f(x_2) \bigr) \Rightarrow \bigl( x_1 = x_2 \bigr).$

• Отображение $f$ инъективно тогда и только тогда, когда для него существует левое обратное:

$\exists g:Y\to X\quad g\circ f = \operatorname{id}_X,$ где $\circ$ обозначает композицию, а $\operatorname{id}_X$ - тождественное отображение на $X.$

Примеры

1. $f: \mathbb{R}_{> 0} \to \mathbb{R}, f(x)=\ln x$ — инъективно.
2. $f: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0}, f(x)=x^2$ — биективно.
3. $f: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}, f(x)=x^2$ — не является инъективным, так как

   $f(-2)=f(2)=4.$

См. также

• Сюръекция;
• Биекция.

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004 — 336 с. — ISBN 5-8114-0535-2

Эта статья содержит материал из статьи Инъекция русской Википедии.