Геометрический смысл интеграла Римана
Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
Неформальное геометрическое описание[]
Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.
Определения[]
Через интегральные суммы[]
Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка - . Это разбиение делит отрезок на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков , где , называется рангом разбиения.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции f на отрезке , т.е.
Число определено, если
- ,
В этом случае, сама функция называется интегрируемой (по Риману) на ; в противном случае является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке .
Через суммы Дарбу[]
Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция . Рассмотрим прои ==
Текст заголовка[]
==
Текст заголовка[]
==
Текст заголовка[]
Шаблон:Unicode ==
== ==
Свойства[]
- Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)-F(a).
- Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.
- Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на меньшем отрезке , где .
- Если функция интегрируема на отрезке и на отрезке , то она интегрируема и на отрезке и .
- Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и , то функция тоже интегрируема, и
- Предел: Если интегрируемые функции равномерно сходятся на отрезке к функции f, то f интегрируема, и
См. также[]
- Интеграл Лебега
- Интеграл Даниэля
- Кратный интеграл Римана
- Несобственный интеграл
- Список интегралов
- физику
Ссылки[]
- Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
ca:Integral de Riemann cs:Riemannův integrál hu:Riemann-integrál lt:Rymano integralas nl:Riemannintegratie pl:Całka Riemanna scn:Ntegrali di Riemann sk:Riemannov integrál sv:Riemann-integral