Интеграл Лебега — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.
Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.
Определение
Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой , и на нем определена измеримая функция .
Определение 1. Пусть индикатор некоторого измеримого множества, т.е. , где . Тогда интеграл Лебега функции по определению:
—Определение 2. Пусть простая функция, т.е. , где , а — конечное разбиение на измеримые множества. Тогда
—- .
Определение 3. Пусть теперь
— неотрицательная функция, т.е. . Рассмотрим все простые функции , такие что . Обозначим это семейство . Для каждой функции из этого семейства уже определен интеграл Лебега. Тогда интеграл от задаётся формулой:Наконец, если функция
произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:где
- .
Определение 4. Пусть
— произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:- .
Определение 5. Пусть наконец
произвольное измеримое множество. Тогда по определению- ,
где индикатор-функция множества .
—Пример
Рассмотрим функцию Дирихле , заданную на , где - борелевская σ-алгебра на , а - мера Лебега. Эта функция принимает значение в рациональных точках и в иррациональных. Легко увидеть, что не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:
Замечания
- Так как , измеримая функция интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
- В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
- Если функция определена на вероятностном пространстве случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание. и измерима, то она называется
Простейшие свойства интеграла Лебега
- Интеграл Лебега линеен, т.е.
- ,
где
- произвольные константы;- Интеграл Лебега сохраняет неравенства, т.е. если п.в., и интегрируема, то интегрируема и , и более того
- ;
- Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, т.е. если п.в., то
- .
Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций
Эта статья содержит материал из статьи Интеграл Лебега русской Википедии.