Математика
Advertisement

Интеграл Лебега — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой , и на нем определена измеримая функция .

Определение 1. Пусть индикатор некоторого измеримого множества, т.е. , где . Тогда интеграл Лебега функции по определению:

Определение 2. Пусть простая функция, т.е. , где , а — конечное разбиение на измеримые множества. Тогда

.

Определение 3. Пусть теперь — неотрицательная функция, т.е. . Рассмотрим все простые функции , такие что . Обозначим это семейство . Для каждой функции из этого семейства уже определен интеграл Лебега. Тогда интеграл от задаётся формулой:

Наконец, если функция произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

где

.

Определение 4. Пусть — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

.

Определение 5. Пусть наконец произвольное измеримое множество. Тогда по определению

,

где индикатор-функция множества .

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле , заданную на , где - борелевская σ-алгебра на , а - мера Лебега. Эта функция принимает значение в рациональных точках и в иррациональных. Легко увидеть, что не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

Замечания

  • Так как , измеримая функция интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
  • В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
  • Если функция определена на вероятностном пространстве и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Простейшие свойства интеграла Лебега

  • Интеграл Лебега линеен, т.е.
,

где - произвольные константы;

  • Интеграл Лебега сохраняет неравенства, т.е. если п.в., и интегрируема, то интегрируема и , и более того
;
  • Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, т.е. если п.в., то
.

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций


Эта статья содержит материал из статьи Интеграл Лебега русской Википедии.

Advertisement