Интеграл Лебега

Интеграл Лебега — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ , и на нем определена измеримая функция $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ .

Определение 1. Пусть $\,f$ — индикатор некоторого измеримого множества, т.е. $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$ , где $A\in {\mathcal {F}}$ . Тогда интеграл Лебега функции $\,f$ по определению:

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).

Определение 2. Пусть $\,f$ — простая функция, т.е. $f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)$ , где $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R}$ , а $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ — конечное разбиение $\,X$ на измеримые множества. Тогда

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})

.

Определение 3. Пусть теперь $\,f$ — неотрицательная функция, т.е. $f(x)\geq 0\;\forall x\in X$ . Рассмотрим все простые функции $\,\{f_{s}\}$ , такие что $f_{s}(x)\leq f(x)\;\forall x\in X$ . Обозначим это семейство ${\mathcal {P}}_{f}$ . Для каждой функции из этого семейства уже определен интеграл Лебега. Тогда интеграл от $f$ задаётся формулой:

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}

Наконец, если функция $f$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

\,f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),

где

f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))

.

Определение 4. Пусть $\,f$ — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)

.

Определение 5. Пусть наконец $A\in {\mathcal {F}}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)

,

где $\mathbf {1} _{A}(x)$ — индикатор-функция множества $A$ .

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)$ , заданную на $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$ , где ${\mathcal {B}}([0,1])$ - борелевская σ-алгебра на $\,[0,1]$ , а $\,m$ - мера Лебега. Эта функция принимает значение $\,1$ в рациональных точках и $\,0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $\,f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

\int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.

Замечания

Так как $\,|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$ , измеримая функция $\,f(x)$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $\,|f(x)|$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
Если функция определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.