Интеграл Лебега

Интеграл Лебега — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$, и на нем определена измеримая функция $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$.

Определение 1. Пусть $\,f$ — индикатор некоторого измеримого множества, т.е. $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$, где $A\in {\mathcal {F}}$. Тогда интеграл Лебега функции $\,f$ по определению:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).$

Определение 2. Пусть $\,f$ — простая функция, т.е. $f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)$, где $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R}$, а $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ — конечное разбиение $\,X$ на измеримые множества. Тогда

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$.

Определение 3. Пусть теперь $\,f$ — неотрицательная функция, т.е. $f(x)\geq 0\;\forall x\in X$. Рассмотрим все простые функции $\,\{f_{s}\}$, такие что $f_{s}(x)\leq f(x)\;\forall x\in X$. Обозначим это семейство ${\mathcal {P}}_{f}$. Для каждой функции из этого семейства уже определен интеграл Лебега. Тогда интеграл от $f$ задаётся формулой:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}$

Наконец, если функция $f$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

$\,f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

где

$f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))$.

Определение 4. Пусть $\,f$ — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)$.

Определение 5. Пусть наконец $A\in {\mathcal {F}}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)$,

где $\mathbf {1} _{A}(x)$ — индикатор-функция множества $A$.

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)$, заданную на $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$, где ${\mathcal {B}}([0,1])$ - борелевская σ-алгебра на $\,[0,1]$, а $\,m$ - мера Лебега. Эта функция принимает значение $\,1$ в рациональных точках и $\,0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $\,f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$\int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Замечания

• Так как $\,|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, измеримая функция $\,f(x)$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $\,|f(x)|$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
• Если функция определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Простейшие свойства интеграла Лебега

• Интеграл Лебега линеен, т.е.

$\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$,

где $a,b\in \mathbb {R}$ - произвольные константы;

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, т.е. если $0\leq f(x)\leq g(x)$ п.в., и $\,g(x)$ интегрируема, то интегрируема и $\,f(x)$, и более того

$0\leq \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leq \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$;

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, т.е. если $\,f(x)=g(x)$ п.в., то

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$.

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

• Теорема Леви о монотонной сходимости;
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
• Лемма Фату.

Эта статья содержит материал из статьи Интеграл Лебега русской Википедии.