Интеграл Лебега

Интеграл Лебега — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение[]

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X, \mathcal{F}, \mu)$ , и на нем определена измеримая функция $f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ .

Определение 1. Пусть $\,f$ — индикатор некоторого измеримого множества, т.е. $f(x) = \mathbf{1}_A(x)$ , где $A \in \mathcal{F}$ . Тогда интеграл Лебега функции $\,f$ по определению:

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ).

Определение 2. Пусть $\,f$ — простая функция, т.е. $f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x)$ , где $\{f_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}$ , а $\{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F}$ — конечное разбиение $\,X$ на измеримые множества. Тогда

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i)

.

Определение 3. Пусть теперь $\,f$ — неотрицательная функция, т.е. $f(x) \geq 0\; \forall x\in X$ . Рассмотрим все простые функции $\,\{f_s\}$ , такие что $f_s(x) \leq f(x)\; \forall x\in X$ . Обозначим это семейство $\mathcal{P}_f$ . Для каждой функции из этого семейства уже определен интеграл Лебега. Тогда интеграл от $f$ задаётся формулой:

\int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\}

Наконец, если функция $f$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

\,f(x) = f^+(x) - f^-(x),

где

f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x))

.

Определение 4. Пусть $\,f$ — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx)

.

Определение 5. Пусть наконец $A \in \mathcal{F}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

\int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx)

,

где $\mathbf{1}_A(x)$ — индикатор-функция множества $A$ .

Пример[]

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x) \equiv \mathbf{1}_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x)$ , заданную на $([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m)$ , где $\mathcal{B}([0,1])$ - борелевская σ-алгебра на $\,[0,1]$ , а $\,m$ - мера Лебега. Эта функция принимает значение $\,1$ в рациональных точках и $\,0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $\,f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.

Замечания[]

Так как $\,|f(x)| = f^+(x) + f^-(x)$ , измеримая функция $\,f(x)$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $\,|f(x)|$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
Если функция определена на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.