Индуцированная топология

Индуци́рованная или относи́тельная тополо́гия в общей топологии — это естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Пусть также $Y \subset X$. Определим $\mathcal{T}_Y$ — семейство подмножеств $Y$ следующим образом:

$\mathcal{T}_Y = \{ U \cap Y \mid U \in \mathcal{T} \}.$

Несложно проверить, что $\mathcal{T}_Y$ является топологией на $Y$. Эта топология называется индуцированной топологией ${\mathcal {T}}.$ Топологическое пространство $(Y,\mathcal{T}_Y)$ называется подпростра́нством $(X,{\mathcal {T}}).$

Пример

Пусть дана вещественная прямая $\R$ со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел $\mathbb {N} \subset \mathbb {R} ,$ является дискретной.