Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.
Определение
Пусть алгебрами подмножеств. Тогда функция называется -измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из принадлежит , то есть
и суть два множества с выделеннымигде полный прообраз множества .
означаетЗамечание
- Если топологические пространства, и алгебры и явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств. и —
Вещественнозначные измеримые функции
Пусть дана функция
. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:- Функция измерима, если
- .
- Функция измерима, если
- , таких что , имеем ,
где
обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.Связанные определения
- Пусть σ-алгеброй. Тогда измеримая функция называется борелевской. и — две копии вещественной прямой вместе с ее борелевской
- Измеримая функция множество элементарных исходов, а — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. , где —
Примеры
- Пусть непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой. —
- Пусть индикатор множества Тогда функция не является измеримой. и —
Эта статья содержит материал из статьи Измеримая функция русской Википедии.