Измеримая функция

Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {F}})$ и $(Y,{\mathcal {G}})$ суть два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция $f:X\to Y$ называется ${\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ -измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из ${\mathcal {G}}$ принадлежит ${\mathcal {F}}$ , то есть

\forall B\in {\mathcal {G}},\;f^{-1}(B)\in {\mathcal {F}},

где $f^{-1}(B)$ означает полный прообраз множества $B$ .

Замечание

Если $\,X$ и $\,Y$ — топологические пространства, и алгебры ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {G}}$ явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.

Вещественнозначные измеримые функции

Пусть дана функция $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

Функция $f$ измерима, если

\forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\leq c\}\in {\mathcal {F}}

.

Функция $f$ измерима, если

\forall a,b\in \mathbb {R}

, таких что

a\leq b

, имеем

\{x\in X\mid f(x)\in |a,b|\}\in {\mathcal {F}}

,

где $|a,b|$ обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения

Пусть $(X,{\mathcal {F}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ и $(Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ — две копии вещественной прямой вместе с ее борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ называется борелевской.
Измеримая функция $f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ , где $\Omega$ — множество элементарных исходов, а ${\mathcal {F}}$ — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом.

Примеры

Пусть $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
Пусть $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )),$ и $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x),\;x\in X$ — индикатор множества $A\not \in {\mathcal {F}}.$ Тогда функция $f$ не является измеримой.