Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами , в частности измеримыми пространствами.
Определение [ ] Пусть
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,\mathcal{G})}
алгебрами подмножеств . Тогда функция
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f: X \to Y}
F
/
G
{\displaystyle \mathcal{F} / \mathcal{G}}
G
{\displaystyle \mathcal G}
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
∀
B
∈
G
,
f
−
1
(
B
)
∈
F
,
{\displaystyle \forall B \in \mathcal{G},\; f^{-1}(B) \in \mathcal{F},}
где
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
полный прообраз множества
B
{\displaystyle B}
Замечание [ ] Если
X
{\displaystyle \,X}
Y
{\displaystyle \,Y}
топологические пространства , и алгебры
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
G
{\displaystyle \mathcal G}
борелевские σ-алгебры соответствующих пространств. Вещественнозначные измеримые функции [ ] Пусть дана функция
f
:
(
X
,
F
)
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))}
Функция
f
{\displaystyle f}
∀
c
∈
R
,
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
≤
c
}
∈
F
{\displaystyle \forall c\in \mathbb{R},\; \{x\in X \mid f(x) \le c\} \in \mathcal{F}}
Функция
f
{\displaystyle f}
∀
a
,
b
∈
R
{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb{R}}
a
≤
b
{\displaystyle a \le b}
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
∈
|
a
,
b
|
}
∈
F
{\displaystyle \{x\in X \mid f(x) \in |a,b| \} \in \mathcal{F}}
где
|
a
,
b
|
{\displaystyle |a,b|}
Связанные определения [ ] Пусть
(
X
,
F
)
=
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle (X,\mathcal{F}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))}
(
Y
,
G
)
=
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle (Y,\mathcal{G}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))}
σ-алгеброй . Тогда измеримая функция
f
:
(
R
,
B
(
R
)
)
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle f: (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))}
борелевской .
Измеримая функция
f
:
(
Ω
,
F
)
→
(
Y
,
G
)
{\displaystyle f:(\Omega, \mathcal{F}) \to (Y,\mathcal{G})}
Ω
{\displaystyle \Omega}
множество элементарных исходов , а
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
случайных событий , называется случайным элементом . Примеры [ ] Пусть
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}
непрерывная функция . Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
Пусть
f
:
(
X
,
F
)
→
(
R
,
B
(
R
)
)
,
{\displaystyle f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),}
f
(
x
)
=
1
A
(
x
)
,
x
∈
X
{\displaystyle f(x) = \mathbf{1}_A(x),\;x\in X}
индикатор множества
A
∉
F
.
{\displaystyle A \not\in \mathcal{F}.}
f
{\displaystyle f}
Эта статья содержит материал из статьи Измеримая функция русской Википедии.
