Идеал (алгебра)

Идеал — специального рода подобъект в некоторой алгебраической структуре. Понятие идеала возникло первоначально в теории колец. Название «идеал» ведет свое происхождение от «идеальных чисел» (дивизоров).

Определения

Для алгебры или кольца $A$ идеал есть подалгебра или подкольцо, замкнутая относительно умножения на элементы из $A$. При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из $A$. Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают.

Более точно: Идеалом кольца A называется такое подмножество I кольца A, что

1. для любых элементов i и j из I, их сумма i+j также лежит в I;
2. для любого элемента i из I его противоположный элемент -i также лежит в I;
3. (условие на правые идеалы) для любого элемента i из I и любого элемента a из A произведение ia также лежит в I;
4. (условие на левые идеалы) для любого элемента i из I и любого элемента a из A произведение ai также лежит в I.

Свойства

• Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах:
  • Для всякого гомоморфизма $f:A \to B$ ядром $\operatorname {Ker} f$ является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма.
  • Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: $f(A)$ изоморфен факторкольцу (факторалгебре) $A/I$.

Для любого подмножества $X \in A$ можно определить идеал $I_{X}$, порождённый $X$, как пересечение всех идеалов, содержащих множество $X$. В этом случае множество $X$ назывется базисом идеала $I_{X}$. Разные базисы могут порождать один и тот же идеал. Идеал, порождённый одним элементом, называется главным.

• Пересечение левых (двусторонних) идеалов снова будет левым (двусторонним) идеалом.
  • Для колец и алгебр теоретико-множественное объединение идеалов не обязано быть идеалом.

Пусть $I, J$ — левые или двусторонние идеалы в кольце (или алгебре) $A$. Суммой идеалов $I$ и $J$ называется минимальный идеал в $A$, содержащий $I$ и $J$. Относительно суммы все (левые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решётку.

• Для $k$-алгебры $A$ (алгебры над полем $k$) идеал кольца $A$ может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры $A$.

Например, если $A$ есть $k$-алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца $A$ совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы $A$, а множество всех идеалов алгебры $A$ совпадает с множеством всех подпространств векторного $k$-пространства $A$. Однако в случае, когда $A$ — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.

Связанные понятия

Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов. Например:

• Кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется простым.
• Кольцо без собственных односторонних идеалов является телом. См. также: кольцо главных идеалов, артиново кольцо, нётерово кольцо.

С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство $SpecA$, точками которого являются все простые идеалы кольца $A$, отличные от $A$, а идеалы кольца $A$ определяют замкнутые подмножества пространства $SpecA$.

Понятие идеала тесно связано с понятием модуля. Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.

Типы идеалов

• Минимальный идеал
• Максимальный идеал
• Нильпотентный идеал
• Радикальный идеал
• Главный идеал
• Конечнопорождённый идеал
• Первичный идеал

Ссылки

• Радикальный идеал

ca:Ideal (matemàtiques) cs:Ideál (algebra) da:Ideal (ringteori) he:אידאל (אלגברה) lmo:Ideaal (matemàtica) nl:Ideaal (wiskunde) pl:Ideał (teoria pierścieni) sk:Ideál (okruhu) sv:Ideal (matematik) ta:வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்)