Математика
Advertisement

Идеал — специального рода подобъект в некоторой алгебраической структуре. Понятие идеала возникло первоначально в теории колец. Название «идеал» ведет свое происхождение от «идеальных чисел» (дивизоров).

Определения

Для алгебры или кольца идеал есть подалгебра или подкольцо, замкнутая относительно умножения на элементы из . При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из . Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают.

Более точно: Идеалом кольца A называется такое подмножество I кольца A, что

  1. для любых элементов i и j из I, их сумма i+j также лежит в I;
  2. для любого элемента i из I его противоположный элемент -i также лежит в I;
  3. (условие на правые идеалы) для любого элемента i из I и любого элемента a из A произведение ia также лежит в I;
  4. (условие на левые идеалы) для любого элемента i из I и любого элемента a из A произведение ai также лежит в I.

Свойства

  • Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах:
    • Для всякого гомоморфизма ядром является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма.
    • Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: изоморфен факторкольцу (факторалгебре) .

Для любого подмножества можно определить идеал , порождённый , как пересечение всех идеалов, содержащих множество . В этом случае множество назывется базисом идеала . Разные базисы могут порождать один и тот же идеал. Идеал, порождённый одним элементом, называется главным.

  • Пересечение левых (двусторонних) идеалов снова будет левым (двусторонним) идеалом.
    • Для колец и алгебр теоретико-множественное объединение идеалов не обязано быть идеалом.

Пусть — левые или двусторонние идеалы в кольце (или алгебре) . Суммой идеалов и называется минимальный идеал в , содержащий и . Относительно суммы все (левые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решётку.

  • Для -алгебры (алгебры над полем ) идеал кольца может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры .

Например, если есть -алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы , а множество всех идеалов алгебры совпадает с множеством всех подпространств векторного -пространства . Однако в случае, когда — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.

Связанные понятия

Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов. Например:

  • Кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется простым.
  • Кольцо без собственных односторонних идеалов является телом. См. также: кольцо главных идеалов, артиново кольцо, нётерово кольцо.

С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство , точками которого являются все простые идеалы кольца , отличные от , а идеалы кольца определяют замкнутые подмножества пространства .

Понятие идеала тесно связано с понятием модуля. Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.

Типы идеалов

  • Минимальный идеал
  • Максимальный идеал
  • Нильпотентный идеал
  • Радикальный идеал
  • Главный идеал
  • Конечнопорождённый идеал
  • Первичный идеал

Ссылки

ca:Ideal (matemàtiques) cs:Ideál (algebra) da:Ideal (ringteori) he:אידאל (אלגברה) lmo:Ideaal (matemàtica) nl:Ideaal (wiskunde) pl:Ideał (teoria pierścieni) sk:Ideál (okruhu) sv:Ideal (matematik) ta:வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்)

Advertisement