Замкнутое множество

За́мкнутые мно́жества в общей топологии, функциональном анализе и математическом анализе — это дополнения к открытым множествам.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$. Множество $V \subset X$ называется закмнутым относительно топологии $\mathcal{T}$, если существует открытое множество $U \in \mathcal{T},$ такое что $V = X \setminus U.$

Примеры

• Всё пространство $X$, а также пустое множество $\emptyset$ всегда замкнуты.
• Интервал $[a,b] \subset \mathbb{R}$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, ибо его дополнение открыто.
• Множество $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ замкнуто в пространстве рациональных чисел $\mathbb{Q}$, но не замкнуто в пространстве всех действительных чисел $\R$.

См. также

• Открытое множество.

Эта статья содержит материал из статьи Замкнутое множество русской Википедии.