Евклидово пространство

В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из двух сходных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ с введённой на нём нормой

$\|x\|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}$

где $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$. Также называется конечномерным гильбертовым пространством

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством $\mathbb {R} ^{n}$ над полем вещественных чисел с метрикой, введённой по формуле:

$d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\dots (x_{n}-y_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^{2}}},$

где $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ и $y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства $\mathbb {R} ^{1}$ размерности n = 1 (вещественная прямая) и $\mathbb {R} ^{2}$ размерности n = 2 (комплексная плоскость или евклидова плоскость).

См. также

• Гильбертово пространство
• Евклидова геометрия
• Евклидово поле

pl:Przestrzeń euklidesowa