Математика
Advertisement

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошоШаблон:Сиротаприближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.


Свойства

  • Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того
  • Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
  • Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть
Обратное, вообще говоря, неверно.

Касательная прямая Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция, задаваемая уравнением , называется касательной к функции в точке

Примеры

  • Функция определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление
Таким образом имеем: Уравнение касательной для этой функции имеет вид Дифференциал этой функции задается формулой.
  • Функция является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определен и её дифференциал.

См. также

Advertisement