Математика
Строка 35: Строка 35:
   
 
== См. также ==
 
== См. также ==
* [[Производная функция|Производная функции]];
+
* [[Производная функции]];
* [[Непрерывная функция|Непрерывность функции]].
+
* [[Непрерывная функция]].
 
   
 
[[Категория:Дифференциальное исчисление]]
 
[[Категория:Дифференциальное исчисление]]

Версия 02:38, 29 октября 2007

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.

Определения

где обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с при Если дифференцируема в пишут
  • Линейное отображение где — константа из предыдущего определения, называется дифференциа́лом функции в точке и обозначается

Свойства

  • Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того
  • Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
  • Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть
Обратное, вообще говоря, неверно.

Касательная прямая

Файл:Tangent to a curve.svg

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

См. также основную статью: Касательная прямая

Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция , задаваемая уравнением , называется касательной к функции в точке

Примеры

  • Функция определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление
Таким образом имеем: Уравнение касательной для этой функции имеет вид: Дифференциал этой функции задается формулой: .
  • Функция является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определен и её дифференциал.

См. также


Эта статья содержит материал из статьи Дифференцируемая функция русской Википедии.