Математика
Jr Mime (обсуждение | вклад)
м (Откат правок Chelovecheskiy.chlen.siski.otca (обсуждение | block) к верси�)
 
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
'''Дифференци́руемая фу́нкция''' в [[Математический анализ|математическом анализе]] — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.
 
'''Дифференци́руемая фу́нкция''' в [[Математический анализ|математическом анализе]] — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.
   
== Определения ==
 
   
* Пусть дана [[Функция (математика)|функция]] <math>f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, и <math>x_0\in M^0</math> — [[внутренняя точка]] [[Область определения|области определения]] <math>f.</math> Тогда <math>f</math> называется '''дифференци́руемой''' в <math>x_0,</math> если существует [[окрестность]] <math>U(x_0) \ni x_0</math> и [[Вещественное число|число]] <math>A \in \mathbb{R}</math> такие, что в этой окрестности для <math>f</math> справедливо представление
 
*: <math>f(x) = f(x_0) + A \cdot (x-x_0) + o(x-x_0),\quad x \in U(x_0),</math>
 
: где <math>o(x-x_0)</math> обозначает величину, [[«O» большое и «o» малое|пренебрежимо малую]] по сравнению с <math>x-x_0</math> при <math>x \to x_0.</math> Если <math>f</math> дифференцируема в <math>x_0,</math> пишут <math>f \in \mathcal{D}(x_0).</math>
 
 
* [[Линейное отображение]] <math>l(h) = A \cdot h,\; h \in \mathbb{R},</math> где <math>A</math> — константа из предыдущего определения, называется '''дифференциа́лом''' функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> и обозначается <math>df(x_0).</math>
 
   
 
== Свойства ==
 
== Свойства ==

Текущая версия на 22:49, 5 июля 2019

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.


Свойства

  • Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того
  • Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
  • Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть
Обратное, вообще говоря, неверно.

Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

См. также основную статью: Касательная прямая

Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция , задаваемая уравнением , называется касательной к функции в точке

Примеры

  • Функция определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление
Таким образом имеем: Уравнение касательной для этой функции имеет вид: Дифференциал этой функции задается формулой: .
  • Функция является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определен и её дифференциал.

См. также


Эта статья содержит материал из статьи Дифференцируемая функция русской Википедии.