Дифференцируемая функция

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.

Свойства

• Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того

  ${\bigl (}f(x)=f(x_{0})+A\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0}){\bigr )}\Leftrightarrow {\bigl (}f'(x_{0})=A{\bigr )}.$

• Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.

• Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть

  ${\bigl (}f\in {\mathcal {D}}(x_{0}){\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}f\in C(x_{0}){\bigr )}.$

Обратное, вообще говоря, неверно.

Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция $f_{l}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, задаваемая уравнением $f_{l}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$, называется касательной к функции $f$ в точке $x_0.$

Примеры

• Функция $f(x)=x^2$ определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление

  $f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2}.$

Таким образом имеем: $f'(x_{0})=2x_{0}.$ Уравнение касательной для этой функции имеет вид: $f_{l}(x)=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0}).$ Дифференциал этой функции задается формулой: $df(x_{0})(h)=2x_{0}h$.

• Функция $f(x) = |x|$ является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке $x_0 = 0,$ её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определен и её дифференциал.

См. также

• Производная функции;
• Непрерывная функция.

Эта статья содержит материал из статьи Дифференцируемая функция русской Википедии.