Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.
Одномерный случай [ ]
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,
f
:
U
(
x
0
)
→
V
(
y
0
)
,
{\displaystyle f:U(x_0) \to V(y_0),}
где
y
0
=
f
(
x
0
)
,
{\displaystyle y_0 = f(x_0),}
и
g
:
V
(
y
0
)
→
R
{\displaystyle g:V(y_0) \to \mathbb{R}}
Пусть также эти функции дифференцируемы:
f
∈
D
(
x
0
)
,
g
∈
D
(
y
0
)
.
{\displaystyle f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0).}
Тогда их композиция также дифференцируема:
h
=
g
∘
f
∈
D
(
x
0
)
,
{\displaystyle h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0),}
и её производная имеет вид:
h
′
(
x
0
)
=
g
′
(
f
(
x
0
)
)
⋅
f
′
(
x
0
)
.
{\displaystyle h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).}
Замечание [ ]
В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции, где
x
=
x
(
t
)
,
{\displaystyle x = x(t),}
принимает следующий вид:
d
y
d
t
=
d
y
d
x
⋅
d
x
d
t
.
{\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.}
Инвариантность формы первого дифференциала [ ]
Дифференциал функции
z
=
g
(
y
)
{\displaystyle z = g(y)}
в точке
y
0
{\displaystyle y_0}
имеет вид:
d
z
=
g
′
(
y
0
)
d
y
,
{\displaystyle dz = g'(y_0) \, dy,}
где
d
y
{\displaystyle dy}
— дифференциал тождественного отображения
y
→
y
{\displaystyle y \to y}
:
d
y
(
h
)
=
h
,
h
∈
R
.
{\displaystyle dy(h) = h,\quad h \in \mathbb{R}.}
Пусть теперь
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
U
(
x
0
)
,
f
∈
D
(
x
0
)
.
{\displaystyle y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0).}
Тогда
d
y
=
f
′
(
x
0
)
d
x
{\displaystyle dy = f'(x_0)\, dx}
, и согласно цепному правилу:
d
z
=
g
′
(
f
(
x
0
)
)
⋅
f
′
(
x
0
)
d
x
=
g
′
(
y
0
)
d
y
.
{\displaystyle dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.}
Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.
Пример [ ]
Пусть
h
(
x
)
=
(
3
x
2
−
5
x
)
7
.
{\displaystyle h(x) = (3x^2 - 5x)^7.}
Тогда функция
h
{\displaystyle h}
может быть записана в виде композиции
h
=
g
∘
f
,
{\displaystyle h = g \circ f,}
где
f
(
x
)
=
3
x
2
−
5
x
,
g
(
y
)
=
y
7
.
{\displaystyle f(x) = 3x^2-5x,\; g(y) = y^7.}
Дифференцируя эти функции:
h
′
(
x
)
=
7
(
3
x
2
−
5
x
)
6
⋅
(
6
x
−
5
)
.
{\displaystyle h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).}
Случай большего числа функций [ ]
Пусть
f
(
x
)
≡
∘
k
f
i
(
x
)
,
i
∈
N
,
i
⩽
k
,
{\displaystyle f(x)\equiv {\underset {k}{\circ }}f_{i}(x),{\text{ }}i\in \mathbb {N} ,{\text{ }}i\leqslant k,}
то есть является композицией k функций. Тогда
f
′
(
x
)
=
f
k
(
x
)
f
k
−
1
′
(
f
k
(
x
)
)
.
.
.
f
1
′
(
∘
2..
k
f
i
(
x
)
)
,
{\displaystyle f'(x)=f_{k}(x)f'_{k-1}(f_{k}(x))...f'_{1}({\underset {2..k}{\circ }}f_{i}(x)),}
тем самым правило, установленное для двух функций, применяется последовательно до самой внешней.
Пример [ ]
Пусть
f
(
x
)
=
sin
(
ln
x
)
.
{\displaystyle f(x)=\sin({\sqrt {\ln x}}).}
В таком случае
f
1
(
x
)
=
sin
(
x
)
,
f
2
(
x
)
=
x
,
f
3
=
ln
x
.
{\displaystyle f_{1}(x)=\sin(x),f_{2}(x)={\sqrt {x}},f_{3}=\ln x.}
Применяя правило, получим:
f
′
(
x
)
=
1
x
⋅
1
2
ln
x
⋅
cos
ln
x
=
cos
ln
x
2
x
ln
x
.
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {\ln x}}}}\cdot \cos {\sqrt {\ln x}}={\frac {\cos {\sqrt {\ln x}}}{2x{\sqrt {\ln x}}}}.}
Многомерный случай [ ]
Пусть даны функции
f
:
U
(
x
0
)
⊂
R
m
→
V
(
y
0
)
⊂
R
n
,
{\displaystyle f:U(x_0) \subset \mathbb{R}^m \to V(y_0) \subset \mathbb{R}^n,}
где
y
0
=
f
(
x
0
)
,
{\displaystyle y_0 = f(x_0),}
и
g
:
V
(
y
0
)
⊂
R
n
→
R
p
.
{\displaystyle g:V(y_0) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p.}
Пусть также эти функции дифференцируемы:
f
∈
D
(
x
0
)
{\displaystyle f\in \mathcal{D}(x_0)}
и
g
∈
D
(
y
0
)
.
{\displaystyle g \in \mathcal{D}(y_0).}
Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
d
h
(
x
0
)
=
d
g
(
y
0
)
∘
d
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle dh(x_0) = dg(y_0) \circ df(x_0).}
В частности, матрица Якоби функции
h
{\displaystyle h}
является произведением матриц Якоби функций
g
{\displaystyle g}
и
f
:
{\displaystyle f:}
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
⋅
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
{\displaystyle \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}}
или
J
g
∘
f
(
x
0
)
=
J
g
(
y
0
)
⋅
J
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle J_{g \circ f}(x_0) = J_g(y_0) \cdot J_f(x_0).}
Следствия [ ]
Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
|
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
|
=
|
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
|
⋅
|
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
|
.
{\displaystyle \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.}
Для частных производных сложной функции справедливо
∂
h
(
x
0
)
∂
x
j
=
∑
i
=
1
n
∂
g
(
y
0
)
∂
y
i
∂
y
i
∂
x
j
,
j
=
1
,
…
m
.
{\displaystyle \frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.}
или в обозначениях Лейбница
∂
z
∂
x
j
=
∑
i
=
1
n
∂
z
∂
y
i
∂
y
i
∂
x
j
,
j
=
1
,
…
,
m
.
{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial z}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots,m.}
(Формула полной производной) Пусть
f
(
t
,
y
1
,
…
,
y
m
)
:
R
m
+
1
→
R
,
{\displaystyle f(t,y_1,\ldots,y_m):\mathbb{R}^{m+1} \to \mathbb{R},}
где
y
j
=
y
j
(
t
,
x
1
,
…
,
x
n
)
,
j
=
1
,
…
m
.
{\displaystyle y_j = y_j(t,x_1,\ldots,x_n),\; j=1,\ldots m.}
Тогда
d
f
d
t
=
∂
f
∂
t
+
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
y
i
d
y
i
d
t
.
{\displaystyle \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial y_i} \frac{d y_i}{d t}.}
Инвариантность формы первого дифференциала [ ]
Пусть
z
=
g
(
y
)
,
y
∈
V
(
y
0
)
⊂
R
n
,
{\displaystyle z = g(y),\quad y\in V(y_0) \subset \mathbb{R}^n,}
и
g
∈
D
(
y
0
)
.
{\displaystyle g \in \mathcal{D}(y_0).}
Тогда дифференциал функции
g
{\displaystyle g}
в точке
y
0
{\displaystyle y_0}
имеет вид
d
z
=
J
g
(
y
0
)
d
y
,
{\displaystyle dz = J_{g}(y_0)\,dy,}
где
d
y
(
h
)
=
h
,
h
∈
R
n
{\displaystyle dy(h) = h,\quad h \in \mathbb{R}^n}
— дифференциал тождественного отображения. Пусть теперь
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
U
(
x
0
)
⊂
R
m
,
f
∈
D
(
x
0
)
,
{\displaystyle y = f(x),\; x\in U(x_0)\subset \mathbb{R}^m,\; f\in \mathcal{D}(x_0),}
и
y
0
=
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle y_0 = f(x_0).}
Тогда
d
y
=
J
f
(
x
0
)
d
x
,
{\displaystyle dy = J_f(x_0)\, dx,}
и
z
=
g
∘
f
(
x
)
,
x
∈
U
(
x
0
)
.
{\displaystyle z=g \circ f(x),\quad x \in U(x_0).}
Согласно цепному правилу
d
z
=
J
g
∘
f
(
x
0
)
d
x
=
J
g
(
y
0
)
J
f
(
x
0
)
d
x
=
J
g
(
y
0
)
d
y
.
{\displaystyle dz = J_{g \circ f}(x_0)\, dx = J_g(y_0) J_f(x_0)\, dx = J_{g}(y_0)\, dy.}
Таким образом форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Примеры [ ]
Пусть
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
=
(
cos
t
,
sin
t
)
,
{\displaystyle \bigl(x(t),y(t)\bigr) = ( \cos t, \sin t ),}
и
f
(
x
,
y
)
=
x
2
−
y
2
.
{\displaystyle f(x,y) = x^2 - y^2.}
Тогда
d
f
d
t
=
∂
f
∂
x
∂
x
∂
t
+
∂
f
∂
y
∂
y
∂
t
=
2
cos
t
(
−
sin
t
)
−
2
sin
t
cos
t
=
−
4
sin
t
cos
t
=
−
2
sin
2
t
.
{\displaystyle \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} = 2 \cos t (-\sin t) - 2 \sin t \cos t = -4 \sin t \cos t = -2 \sin 2t.}
Пусть
f
(
x
,
y
)
=
x
y
,
{\displaystyle f(x,y) = xy,}
и
x
(
u
,
v
)
=
u
2
v
,
y
(
u
,
v
)
=
v
3
.
{\displaystyle x(u,v) = u^2 v,\; y(u,v) = v^3.}
Тогда
∂
f
∂
u
=
∂
f
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
f
∂
y
∂
y
∂
u
=
v
3
⋅
2
u
v
+
u
2
v
⋅
0
=
2
u
v
4
;
{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = v^3 \cdot 2 uv + u^2 v \cdot 0 = 2uv^4;}
∂
f
∂
v
=
∂
f
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
f
∂
y
∂
y
∂
v
=
v
3
u
2
+
u
2
v
⋅
3
v
2
=
4
u
2
v
3
.
{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = v^3 u^2 + u^2 v\cdot 3v^2 = 4 u^2 v^3.}
Эта статья содержит материал из статьи Дифференцирование сложной функции русской Википедии.