Математика
Advertisement

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Одномерный случай[]

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

Замечание[]

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции, где принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала[]

Дифференциал функции в точке имеет вид:

где — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.

Пример[]

Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где

Дифференцируя эти функции:

Случай большего числа функций[]

Пусть то есть является композицией k функций. Тогда тем самым правило, установленное для двух функций, применяется последовательно до самой внешней.

Пример[]

Пусть В таком случае Применяя правило, получим:

Многомерный случай[]

Пусть даны функции где и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

В частности, матрица Якоби функции является произведением матриц Якоби функций и

или

Следствия[]

  • Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
  • Для частных производных сложной функции справедливо
    или в обозначениях Лейбница
  • (Формула полной производной) Пусть где Тогда

Инвариантность формы первого дифференциала[]

Пусть и Тогда дифференциал функции в точке имеет вид

где — дифференциал тождественного отображения. Пусть теперь и Тогда и Согласно цепному правилу

Таким образом форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Примеры[]

  • Пусть и Тогда
  • Пусть и Тогда


Эта статья содержит материал из статьи Дифференцирование сложной функции русской Википедии.

Advertisement