Дедекиндово сечение

Дедекиндово сечение - это разбиение полностью упорядоченного множества. Дедекиндовы сечения являются одним из способов построения вещественной прямой на основе рациональных чисел.

Определение

Пусть дано полностью упорядоченное множество $(X,\le)$. Разбиение $\{A,B\}$ множества $X$ называется Дедекиндовым сечением, если

• $A$ замкнуто снизу, то есть

  $\forall a\in A\; \forall x\in X\quad \bigl(x \le a\bigr) \Rightarrow \bigl( x \in A\bigr);$

• $B$ замкнуто сверху, то есть

  $\forall b \in B\; \forall x \in X \quad \bigl( b \le x \bigr) \Rightarrow \bigl( x \in B \bigr);$

• $A$ не содержит наибольшего элемента, то есть

  $\forall a\in A\; \exists a'\in A\quad a < a'.$

Порядок

На семействе Дедекиндовых сечений может быть введено отношение порядка следующим образом. Положим по определению

$\bigl(\{A_1,B_1\} \le \{A_2,B_2\} \bigr) \Leftrightarrow \bigl( A_1 \subset A_2 \bigr)$.

Эквивалентно

$\bigl(\{A_1,B_1\} \le \{A_2,B_2\} \bigr) \Leftrightarrow \bigl( B_2 \subset B_1 \bigr)$.

Упорядоченное таким образом семейство Дедекиндовых сечений является полностью упорядоченным множеством, удовлетворяющим принципу полноты Вейерштрасса.

Построение вещественных чисел

Рассмотрим множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ со стандартным порядком. Тогда оно изоморфно подмножеству семейства Дедекиндовых сечений на $\mathbb{Q}$.

$q \in \mathbb{Q} \leftrightarrow \bigl\{ \{q' \in \mathbb{Q} \mid q' < q \}, \{ q'' \in \mathbb{Q} \mid q'' \ge q \} \bigr\}.$

Существуют Дедекиндовы сечения, которые не соответствуют ни одному рациональному числу в смысле определённого выше изоморфизма. Например,

$\bigl\{ \{q < 0 \} \cup \{q^2 < 2\}, \{q \ge 0 \} \cap \{ q^2 \ge 2 \} \bigr\}$.

Таким образом семейство Дедекиндовых сечений на $\mathbb{Q}$ можно рассматривать как объемлющее множество, которое содержит $\mathbb{Q}$ в качестве собственного подмножества. Это объемлющее множество называется множеством вещественных чисел.