Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение

Файл:Hyperbola-hyperbolic functions.png

Определение гиперболических функций через гиперболу

Файл:Circle sincos.png

Один из способов определения тригонометрических функций через единичную окружность

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

$\mathop{\mathrm{sh}}\,x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ (в зарубежной литературе обозначается $\sinh x$)

Существует сленговые названия: «шинус», «шимус»(?). Однако их использование не научно.

• гиперболический косинус:

$\mathop{\mathrm{ch}}\,x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ (в зарубежной литературе обозначается $\cosh x$)

Существует сленговые названия: «чосинус», «кошинус». Однако их использование не научно.

• гиперболический тангенс:

$\mathop{\mathrm{th}}\,x=\frac{\mathop{\mathrm{sh}}\,x}{\mathop{\mathrm{ch}}\,x}$ (в зарубежной литературе обозначается $\tanh x$).

Существует сленговые названия: «щангенс», «тахинус». Однако их использование не научно.

Иногда также определяются

• гиперболический котангенс:

$\mathop{\mathrm{cth}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{th}}\,x}$,

Существует сленговые названия: «кочангенс», «кохинус». Однако их использование не научно.

• гиперболические секанс и косеканс:

$\mathop{\mathrm{sch}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}\,x}$,

$\mathop{\mathrm{csch}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}\,x}$.

Геометрическое определение

Ввиду соотношения $\mathop{\mathrm{ch}}^2t-\mathop{\mathrm{sh}}^2t=1$ гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы $x^2 - y^2 = 1$ ($x=\mathop{\mathrm{ch}}\,t$, $y=\mathop{\mathrm{sh}}\,t$). При этом аргумент $t=2S$, где $S$ — площадь криволинейного треугольника $OQR$, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси $OX$, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

$\mathop{\mathrm{sh}}\,x=-i\sin(ix),\quad\mathop{\mathrm{ch}}\,x=\cos(ix),\quad\mathop{\mathrm{th}}\,x=-i\mathop{\mathrm{tg}}\,(ix)$.

Важные тождества

1. $\mathop{\mathrm{sh}}\,x+\mathop{\mathrm{ch}}\,x=e^x$
2. $\mathop{\mathrm{ch}}^2x-\mathop{\mathrm{sh}}^2x=1$
3. Чётность:
   1. $\mathop{\mathrm{sh}}(-x)=-\mathop{\mathrm{sh}}\,x$
   2. $\mathop{\mathrm{ch}}(-x)=\mathop{\mathrm{ch}}\,x$
   3. $\mathop{\mathrm{th}}(-x)=-\mathop{\mathrm{th}}\,x$
4. Формулы сложения:
   1. $\mathop{\mathrm{sh}}(x+y)=\mathop{\mathrm{sh}}\,x\,\mathop{\mathrm{ch}}\,y+\mathop{\mathrm{sh}}\,y\,\mathop{\mathrm{ch}}\,x$
   2. $\mathop{\mathrm{ch}}(x+y)=\mathop{\mathrm{ch}}\,x\,\mathop{\mathrm{ch}}\,y+\mathop{\mathrm{sh}}\,y\,\mathop{\mathrm{sh}}\,x$
5. Формулы двойного угла:
   1. $\mathop{\mathrm{sh}}\,2x=2\mathop{\mathrm{ch}}\,x\,\mathop{\mathrm{sh}}\,x=\frac{2\mathop{\mathrm{th}}\,x}{1-\mathop{\mathrm{th}}^2x}$
   2. $\mathop{\mathrm{ch}}\,2x=\mathop{\mathrm{ch}}^2x+\mathop{\mathrm{sh}}^2x=\frac{1+\mathop{\mathrm{th}}^2x}{1-\mathop{\mathrm{th}}^2x}$
   3. $\mathop{\mathrm{th}}\,2x=\frac{2\mathop{\mathrm{th}}\,x}{1+\mathop{\mathrm{th}}^2x}$

1. Производные:
   1. $(\mathop{\mathrm{sh}}\,x)^\prime=\mathop{\mathrm{ch}}\,x$
   2. $(\mathop{\mathrm{ch}}\,x)^\prime=\mathop{\mathrm{sh}}\,x$
   3. $(\mathop{\mathrm{th}}\,x)^\prime=\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2x}$
   4. $\mathop{\mathrm{sh}}\,x=\int^x_0\mathop{\mathrm{ch}}tdt$
   5. $\mathop{\mathrm{ch}}\,x=1+\int^x_0\mathop{\mathrm{sh}}tdt$
   6. $\mathop{\mathrm{th}}\,x=\int^x_0\frac{dt}{\mathop{\mathrm{ch}}^2t}$
2. Интегралы:
   1. $\int\mathop{\mathrm{sh}}\,x\,dx=\mathop{\mathrm{ch}}\,x+C$
   2. $\int\mathop{\mathrm{ch}}\,x\,dx=\mathop{\mathrm{sh}}\,x+C$
   3. $\int\mathop{\mathrm{th}}\,x\,dx=\ln\mathop{\mathrm{ch}}\,x+C$
   4. $\int\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2x}\,dx=\mathop{\mathrm{th}}\,x+C$
   5. $\int\frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}^2x}\,dx=-\mathop{\mathrm{cth}}\,x+C$

Разложение в степенные ряды

$\mathop{\mathrm{sh}}\,x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\mathop{\mathrm{ch}}\,x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\mathop{\mathrm{th}}\,x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2}$

$\mathop{\mathrm{cth}}\,x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}B_nx^{2n-1}}{(2n)!},\quad0<|x|<\pi$ (Ряд Лорана)

Здесь $B_n$ — числа Бернулли.

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках $z=i\pi(n+1/2)$, где $n$ — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек $z=i\pi n$, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

$\mathop{\mathrm{Arsh}}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ — обратный гиперболический синус: $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{Arsh}}\,x)=x$

$\mathop{\mathrm{Arch}}\,x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$ — обратный гиперболический косинус

$\mathop{\mathrm{Arth}}\,x=\ln\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ — обратный гиперболический тангенс

$\mathop{\mathrm{Arcth}}\,x=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ — обратный гиперболический котангенс

$\mathop{\mathrm{Arsch}}\,x=\pm\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ — обратный гиперболический секанс

$\mathop{\mathrm{Arcsch}}\,x=\left\{\begin{array}{l}\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x<0 \\ \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x>0\end{array}\right.$ — обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

$\mathop{\mathrm{Arsh}}\,x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x<1$

$\mathop{\mathrm{Arch}}\,x=\ln2-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln2-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1$

$\mathop{\mathrm{Arth}}\,x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1$

История

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения $\mathop{\mathrm{Sh}}$ и $\mathop{\mathrm{Ch}}$. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения $\mathop{\mathrm{sinhyp}}$, $\mathop{\mathrm{coshyp}}$, в русскоязычной литературе закрепились обозначения $\operatorname{sh}, \operatorname{ch}$, в англоязычной закрепились $\sinh, \cosh$, .

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида $\begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix}$ описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы $\begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix}$ описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции $y=\mathop{\mathrm{ch}}\,x$ (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.

Ссылки

• GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
• История гиперболических функций (англ)
• БСЭ: Знаки математические
• Биография Риккати (англ.)
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперболические_функции

cs:Hyperbolická funkce he:פונקציות היפרבוליות hu:Hiperbolikus függvények is:Breiðbogafall nl:Hyperbolische functie pl:Funkcje hiperboliczne sr:Хиперболичне функције sv:Hyperbolisk funktion