Математика
Advertisement

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение

Файл:Hyperbola-hyperbolic functions.png

Определение гиперболических функций через гиперболу

Файл:Circle sincos.png

Один из способов определения тригонометрических функций через единичную окружность

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:
(в зарубежной литературе обозначается )

Существует сленговые названия: «шинус», «шимус»(?). Однако их использование не научно.

  • гиперболический косинус:
(в зарубежной литературе обозначается )

Существует сленговые названия: «чосинус», «кошинус». Однако их использование не научно.

  • гиперболический тангенс:
(в зарубежной литературе обозначается ).

Существует сленговые названия: «щангенс», «тахинус». Однако их использование не научно.

Иногда также определяются

  • гиперболический котангенс:
,

Существует сленговые названия: «кочангенс», «кохинус». Однако их использование не научно.

  • гиперболические секанс и косеканс:
,
.


Геометрическое определение

Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы (, ). При этом аргумент , где — площадь криволинейного треугольника , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

.

Важные тождества

  1. Чётность:
  2. Формулы сложения:
  3. Формулы двойного угла:
  1. Производные:
  2. Интегралы:

Разложение в степенные ряды

(Ряд Лорана)

Здесь  — числа Бернулли.

Графики

Файл:Sh ch th.svg

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках , где — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

 — обратный гиперболический синус:
 — обратный гиперболический косинус
 — обратный гиперболический тангенс
 — обратный гиперболический котангенс
 — обратный гиперболический секанс
 — обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

История

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения и . В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения , , в русскоязычной литературе закрепились обозначения , в англоязычной закрепились , .

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.

Ссылки


cs:Hyperbolická funkce he:פונקציות היפרבוליות hu:Hiperbolikus függvények is:Breiðbogafall nl:Hyperbolische functie pl:Funkcje hiperboliczne sr:Хиперболичне функције sv:Hyperbolisk funktion

Advertisement