Гильбертово пространство

Ги́льбертово простра́нство — банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением. Названо в честь математика Д. Гильберта.

Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства $H$ среди прочих банаховых пространств, является тождество параллелограмма:

$(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2).$

Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

$(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2.$

Аналогично, если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

$(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2+ i\left\|\dfrac{x+iy}{2}\right\|^2-i\left\|\dfrac{x-iy}{2}\right\|^2.$

Наименьшая из мощностей подмножеств гильбертова пространства $H$, для которых замыкание линейной оболочки совпадает с $H$, называется размерностью пространства $H$. Справедливо следующее утверждение:

Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности, любые два бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу и пространству $\ell^2$ (см. ниже). Гильбертово пространство/рамка Примеры Простейшим (но весьма важным) примером гильбертова пространства является пространство $\ell_2$. Его точки суть бесконечные последовательности действительных чисел $x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, для которых сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2$. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством $(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n$. Другим важным примером гильбертова пространства может служить пространство $L_2[a,b]$ измеримых функций на отрезке $[a, b]$ с интегрируемыми по Лебегу квадратами — т. е. таких, что интеграл $\int\limits_a^b |f|^2\,dx$ определён и конечен. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством $(f, g) = \int\limits_a^b f\overline{g}\,dx$. См. также равенство Парсеваля. неравенство Бесселя. Эта статья содержит материал из статьи Гильбертово пространство русской Википедии.