Математика
Advertisement

В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), если для любых двух точек x, y из этого интервала и для любого числа t, принадлежащего отрезку [0,1], выполняется неравенство

Если это неравенство является строгим для всех t из интервала (0,1), функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

Свойства выпуклых функций[]

Функция f, выпуклая на интервале C, непрерывна на всём C и дифференцируема на всём C за исключением, быть может, счётного множества точек.

Непрерывная функция f выпукла на C тогда и только тогда, когда для всех точек x и y, принадлежащих C, выполняется неравенство

Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция f(x)=x4 строго выпукла на [-1,1], но её производная в точке x=0 равна нулю).

Если функции f, g выпуклы, то любая их линейная комбинация a f+b g с положительными коэффициентами a, b также выпукла.

Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).

Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:

где Xслучайная величина со значениями в области определения функции f, Eматематическое ожидание.

cs:Konvexnost a konkávnost funkce he:פונקציה קמורה hu:Konvex függvény pl:Wypukłość funkcji

Advertisement