Выборочное среднее

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее - это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Определение

Пусть

$X_1,\ldots ,X_n$ - выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве

$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ . Тогда её выборочным средним называется случайная величина

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i$.

Свойства выборочного распределения

• Пусть$\hat{F}(x)$ - выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного$\omega \in \Omega$ функция$\hat{F}(\omega,x)$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно$\bar{X}(\omega)$.

• Выборочное среднее - несмещённая оценка теоретического среднего:

$\mathbb{E}\left[\bar{X}\right] = \mathbb{E}[X_i],\quad i=1,\ldots, n$.

• Выборочное среднее - сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

$\bar{X} \to \mathbb{E}[X_i]$почти наверное при$n \to \infty$.

• Выборочное среднее - асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин$X_i$ конечна и ненулевая, то есть$\mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 < \infty, \sigma^2 \not=0,\; i=1,\ldots, n$. Тогда

$\sqrt{n} \left(\bar{X} - \mathbb{E}[X_1]\right) \to \mathrm{N}(0,\sigma^2)$по распределению при$n \to \infty$,

где

$\mathrm{N}(0,\sigma^2)$ - нормальное распределение со средним

$0$ и дисперсией

$\sigma^2$ .

• Выборочное среднее из нормальной выборки - эффективная оценка её среднего.

См. также

• Математическое ожидание;
• Выборочная дисперсия;
• Выборочные моменты.