Выборочная функция распределения

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ - выборка из распределения, задаваемого функцией распределения $F(x)$. Будем считать, что $X_{i},\;i\in \mathbb {N}$ - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов $\Omega$. Пусть $x \in \R$. Определим случайную величину ${\hat {F}}(x):\Omega \to \mathbb {R}$ следующим образом:

${\hat {F}}(x)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}\leq x\}}$,

где $\mathbf{1}_A$ - индикатор события $A$. Таким образом выборочная функция распределения в точке $x$ равна количеству элементов выборки, не превосходящих значение $x$. Случайная величина $\hat{F}(x)$ называется выборочной функцией распределения выборки $X_1,\ldots ,X_n$.

Основные свойства

• Пусть зафиксирован элементарный исход $\omega \in \Omega$. Тогда ${\hat {F}}(x,\omega )$ является функцией распределения дискретного распределения, задаваемого следующей функцией вероятности:

$p(x_{i})=N_{x_{i}},\;i=1,\ldots ,n$,

где $x_i=X_i(\omega)$, а $N_{x}=\sum \limits _{j=1}^{n}\mathbf {1} _{\{x=x_{j}\}}$ - количество элементов выборки, равных $x$. В частности, если все элементы выборки различны, то $N_{x_{i}}=1,\;\forall i$.

• Математическое ожидание этого распределения имеет вид:

$\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}N_{x_{i}}={\bar {X}}(\omega )$.

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

• Аналогично, выборочная дисперсия - это теоретическая дисперсия выборочного распределения.

• Случайная величина $n{\hat {F}}(x)$ имеет биномиальное распределение:

$n{\hat {F}}(x)\sim \mathrm {Bin} (n,F(x))$.

• Выборочная функция распределения $\hat{F}(x)$ является несмещённой оценкой функции распределения $F(x)$:

$\mathbb {E} \left[{\hat {F}}(x)\right]=F(x)$.

• Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:

$\mathrm {D} \left[{\hat {F}}(x)\right]={\frac {F(x)(1-F(x))}{n}}$.

• Согласно усиленному закону больших чисел, выборочная функция распределения сходится почти наверное к теоретической функции распределения:

${\hat {F}}(x)\to F(x)$ почти наверное при $n \to \infty$.

• Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой теоретической функции распределения. Если $0<F(x)<1,\;\forall x\in \mathbb {R}$, то

${\sqrt {n}}\left({\hat {F}}(x)-F(x)\right)\to \mathrm {N} \left(0,F(x)(1-F(x))\right)$ по распределению при $n \to \infty$.

См.также

• Гистограмма (статистика);
• Теорема Гливенко — Кантелли;
• Теорема Колмогорова.

eo:Empiria distribua funkcio