Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия в математической статистике - это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую или исправленную выборочные дисперсии.

Определения

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ - выборка из распределения вероятности. Тогда

• Выборочная дисперсия - это случайная величина

$S^2_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2$,

где символ $\bar{X}$ обозначает выборочное среднее.

• Несмещённая (исправленная) дисперсия - это случайная величина

$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2$.

Свойства выборочных дисперсий

• Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть $\hat{F}(x)$ - выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\omega \in \Omega$ функция $\hat{F}(\omega,x)$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна $S^2_n(\omega)$.

• Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если $\mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 < \infty$, то

$S_n^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2$

и