Внешняя алгебра

Внешняя алгебра (алгебра Грассмана) — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом.

Определение

Внешняя алгебра векторного пространства $V$ над полем $k$ — ассоциативная алгебра над k, операция в которой обозначается знаком $\wedge$, порождающими элементами которой являются $1,e_1,...,e_n$, где $e_1,\dots,e_n$ — базис пространства $V$, а определяющие соотношения имеют вид

• $e_i\wedge e_j=-e_j\wedge e_i (i,j=1,\dots,n)$, $e_i\wedge e_i=0$;
• $e_i\wedge 1=1\wedge e_i = e_i (i=1,\dots,n)$, $1\wedge 1=1$.

Внешняя алгебра обычно обозначается $\wedge V$, она не зависит от выбора базиса.

Подпространство $\wedge^r V$ (для $r=0, 1, \dots, n$) в $\wedge V$, порождённое элементами вида $e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_r}$, назывется $r$-ой внешней степенью пространства $V$.

Свойства

• Имеют место равенства:

$\operatorname{dim}\wedge V=2^n$

$\operatorname{dim}\wedge^r V=C^n_r$, в частости

$\wedge^r V=0$ при $r>n$.

• градуированная комутативность: $u\wedge v=(-1)^{rs}v\wedge u$, если $u\in\wedge^rV$,$v\in\wedge^s$V.
• Элементы пространства $\wedge^r V$ называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над $V$,
• Линейно независимые системы из $r$ векторов $x_1, \dots, x_r$ и $y_1, \dots, y_r$ из $V$ порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда $r$-векторы $x_1\wedge \dots \wedge x_r$ и $y_1\wedge \dots \wedge y_r$ пропорциональны.

he:מכפלת וודג'