Вещественное число

Вещественные или действительные числа — это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. Такое число может быть интуитивно представлено как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается $\R$ и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа строятся на базисе более простых объектов таких, как целые и рациональные числа. Свойства вещественных чисел являются важнейшим объектом изучения математического анализа.

Аксиоматическое определение

Полное упорядоченное поле

Пусть на множестве $X$ заданы две бинарные операции $+$ и отношение порядка $\le$. Четвёрка $(X,+,\cdot ,\leq )$ называется полным упорядоченным полем, если

1. $(X,+,\cdot )$ представляет собой алгебраическое поле;
2. $(X,\le)$ является полностью упорядоченным множество с отношением порядка , то есть
   • порядок устойчив относительно сложения:

     $\forall x,y,z\in X\quad {\bigl (}x\leq y{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}x+z\leq y+z{\bigr )}$

   • порядок устойчив относительно умножения:

     $\forall x,y\in X\quad {\bigl (}0\leq x{\bigr )}\wedge {\bigl (}0\leq y{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}0\leq x\cdot y{\bigr )}$.

3. упорядоченное множество $(X,\le)$ удовлетворяет принципу полноты Вейерштрасса, то есть любое ограничен

Изоморфизм полных упорядоченных полей

Пусть даны два полных упорядоченных поля $(X,+_{X},\cdot _{X},\leq _{X})$ и $(Y,+_{Y},\cdot _{Y},\leq _{Y})$. Тогда они называются изоморфными, если существует биекция $f: X \to Y$ такая, что

1. $\forall x_{1},x_{2}\in X\quad f(x_{1})+_{Y}f(x_{2})=f(x_{1}+_{X}x_{2});$
2. $\forall x_{1},x_{2}\in X\quad f(x_{1})\cdot _{Y}f(x_{2})=f(x_{1}\cdot _{X}x_{2});$
3. $f(0_{X})=0_{Y};$
4. $f(1_{X})=1_{Y};$
5. $\forall x_{1},x_{2}\in X\quad {\bigl (}x_{1}\leq _{X}x_{2})\Leftrightarrow {\bigl (}f(x_{1})\leq _{Y}f(x_{2}){\bigr )}.$

Любые два полных упорядоченных поля изоморфны между собой. Таким образом с точностью до свойств операций и порядка существует только одно полное упорядоченное поле. Оно называется полем действительных чисел. Аксиомы полного упорядоченного поля, перечисленные выше, называются аксиомами вещественных чисел.

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа $\Bbb{R}$ могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел $\Bbb Q$ по отношению к обычной метрике $d(r,\;q)=|r-q|$. Рассмотрим семейство фундаментальных последовательностей рациональных чисел $\{r_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.$ Назовём две последовательности $\{r_n\}$ и $\{q_{n}\}$ эквивалентными, если существует предел

$\lim \limits _{n\to \infty }r_{n}-q_{n}=0.$

Введённое таким образом отношение является отношением эквивалентности и следовательно разбивает рассматриваемое семейство на непересекающиеся классы эквивалентности. Отождествляя рациональное число $q\in \mathbb {Q}$ с фундаментальной последовательностью $q_{n}=q,\;n\in \mathbb {N}$, можно считать, что полученное фактор-множество содержит рациональные числа. Зададим на фактор-множестве бинарные операции и порядок следующим образом:

• $[\{r_{n}\}]+[\{q_{n}\}]=[\{r_{n}+q_{n}\}];$
• $[\{r_{n}\}]\cdot [\{q_{n}\}]=[\{r_{n}\cdot q_{n}\}].$
• ${\bigl (}[\{r_{n}\}]\leq [\{q_{n}\}]{\bigr )}\Leftrightarrow {\bigl (}\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n>N\quad r_{n}\leq q_{n}{\bigr )}.$

Непосредственно проверяется, что это построение корректно и полученная таким образом четвёрка является полным упорядоченным полем. В силу изоморфизма полных упорядоченных полей эту структуру можно называть полем действительных чисел и более того считать, что $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R} .$

Дедекиндовы сечения

Рассмотрим опять множество рациональных чисел $\Q.$ Дедекиндовым сечением $(A,B)$ множества $\mathbb{Q}$ называется такое его разбиение, что $A$ замкнуто снизу, $B$ замкнуто сверху, и $A$ не содержит наибольшего элемента. Отождествим произвольное рациональное число $q\in \mathbb {Q}$ c сечением $(A_{q},B_{q}),$ где

$A_{q}=\{q'\in \mathbb {Q} \mid q'<q\},\;B_{q}=\{q''\in \mathbb {Q} \mid q''\geq q\},$

и введём на семействе Дедекиндовых сечений бинарные операции $+, \cdot$ и порядок $\le$ следующим образом:

• $(A_{1},B_{1})+(A_{2},B_{2})=(A_{3},B_{3})$, где
  • $A_{3}=\{q_{1}+q_{2}\mid q_{1}\in A_{1},\;q_{2}\in A_{2}\},$
  • $B_{3}=\{r_{1}+r_{2}\mid r_{1}\in B_{1},\;r_{2}\in B_{2}\};$
• $(A_{1},B_{1})\cdot (A_{2},B_{2})=(A_{3},B_{3})$, где
  • $B_{3}=\{r_{1}\cdot r_{2}\mid r_{1}\in B_{1},\;r_{2}\in B_{2}\},$
  • $A_{3}=\mathbb {Q} \setminus B_{3};$
• ${\bigl (}(A_{1},B_{1})\leq (A_{2},B_{2}){\bigr )}\Leftrightarrow (A_{1}\subset A_{2}).$

Опять непосредственное проверяется, что таким образом построено полное упорядоченное поле, содержащее в себе с точностью до изоморфизма рациональные числа. В силу изоморфизма всех упорядоченных линейных полей между собой можно считать полученное поле вещественными числами.

Пример

Число $\sqrt{2}$ соответствует сечению $(A,B)$, где

$A=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<0\vee q^{2}<2\right\},\;B=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q>0\wedge q^{2}\geq 2\right\}.$

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида $\pm d_{-k} d_{-k+1}\ldots d_{0}, d_{1} d_{2}\ldots$, где $d_i$ являются десятичными цифрами, то есть $0\leqslant d_i< 10$.

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид $d999\ldots$ и $(d+1)000\ldots$, где $0\leqslant d\leqslant8$

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда $\pm\sum_{i=-k}^{\infty} d_i\cdot 10^{-i}$.

Ссылки

• Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
• Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

Шаблон:Категория только в статьях

Эта статья содержит материал из статьи Вещественное число русской Википедии.