В математическом анализе вариацией функции из отрезка на вещественной прямой в называется обобщение понятия длины кривой, задаваемой в этой функцией.
Формальное определение[]
Пусть . Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции на отрезке называется следующая величина:
- ,
то есть точная верхняя грань по всем разбиениям отрезка длин ломаных в , концы которых соответствуют значениям в точках разбиения.
Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается . В таком случае определена функция , называющаяся функцией полной вариации для .
Связанные определения[]
Положительная вариация вещественнозначной функции на отрезке называется следующая величина:
- .
Аналогично определяется отрицательная вариация функции:
- .
Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы
- .
Свойства функций ограниченной вариации[]
- Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию.
- Если , а , то .
- Если функция непрерывна в точке справа и принадлежит , то .
- Функция , заданная на отрезке , является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей функции на функций (разложение Жордана).
- Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все I рода.
- Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).
Вычисление вариации[]
Вариация непрерывно дифференцируемой функции[]
Если функция принадлежит классу , то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке , то — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:
- ,
то есть равна интегралу нормы производной.
Обобщения[]
В случае нескольких, переменных существует несколько определений вариации функции, см. вариация Арцела, вариация Витали, вариация Пъерпонта, плоская вариация Тонелли, вариация Фреше, вариация Харди.
См. также[]
- Аффинная длина
- Вариационное исчисление.
- Длина кривой
- Интеграл Римана — Стилтьеса
- Курвиметр — прибор для измерения длин кривых на географических картах
Литература[]
- Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.— Л., 1934.