Математика
Advertisement

Пусть множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается или . Ясно, что и .

Справедливо следующее утверждение:

Число подмножеств конечного множества, состоящего из элементов равно . Булеан/рамка

Доказательство проведем методом математической индукции.

База. Если , т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество – оно само, и интересующее нас число равно .

Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть – множество с кардинальным числом . Зафиксировав некоторый элемент , разделим подмножества множества на два типа:

  1. содержащие ,
  2. не содержащие , то есть являющиеся подмножествами множества .

Подмножеств типа (2) по предположению индукции . Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1).

Поэтому число всех подмножеств множества равно .

ca:Conjunt de les parts cs:Potenční množina da:Potensmængde el:Δυναμοσύνολο fiu-vro:Alambhulkõ hulk he:קבוצת החזקה hu:Hatványhalmaz nl:Machtsverzameling no:Potensmengde pl:Zbiór potęgowy sr:Партитивни скуп

Advertisement