Биномиальное распределение одной случайной величины

Традиционная интерпретация 20-го века

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $n$ независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна $p$.

Определение

Пусть $X_1,\ldots ,X_n$ — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.$

Построим случайную величину $Y$:

$Y = \sum\limits_{i=1}^nX_i$.

Тогда $Y$, число единиц (успехов) в последовательности $X_1,\ldots ,X_n$, имеет биномиальное распределение с $n$ степенями свободы и вероятностью «успеха» $p$. Пишем: $Y \sim \mathrm{Bin}(n,p)$. Её функция вероятности даётся формулой:

$p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = C_n^k\, p^k q^{n-k},\; k=0,\ldots, n,$

где $C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! \, k!}$ — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

$F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leq y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} C_n^k\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R}$,

где $\lfloor y \rfloor$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее число $y$, или в виде неполной бета-функции:

$F_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y \le k ) = I_{1-p}(n-k,k+1)$.

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n$,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = np$,

$\mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np )$,

а дисперсия случайной величины.

$\mathbb{D}[Y] = npq$.

Свойства биномиального распределения

• Пусть $Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p)$ и $Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n, 1-p)$. Тогда $p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k)$.
• Пусть $Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p)$ и $Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p)$. Тогда $Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p)$.

Биномиальное распределение не может быть распределением одной случайной величины

Доказательство первое

Если биномиальное распределение одной случайной величины имеет математическое ожидание $MX=np$, то при условии $n>\frac{1}{p}$ математическое ожидание биномиального распределения одной случайной величины будет превышать единицу $MX=np>1$, что недопустимо, поскольку согласно второй аксиоме Колмогорова (см. Аксиоматика Колмогорова) сумма всех вероятностей любого распределения обязана быть равной единице.

Что и требовалось доказать

Доказательство второе - Буняковского

Биномиальное распределение двух случайных величин было получено путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином.

В современной записи биномиальное распределение Буняковского имеют следующий вид:

$P(X_1=n_1, X_2=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},$

$2=k \le n< \infty, \quad n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1.$

Связь с другими распределениями

• Если $n=1$, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
• Если $n$ большое, то в силу центральной предельной теоремы $\mathrm{Bin}(n,p) \approx N( np, npq )$, где $N(np,npq)$ — нормальное распределение.
• Если $n$ большое, а $\lambda$ — фиксированное число, то $\mathrm{Bin}(n, \lambda / n) \approx \mathrm{P}(\lambda)$, где $\mathrm{P}(\lambda)$ — распределение Пуассона с параметром $\lambda$,
• Если число случайных величин распределения больше двух, то обязаны получить мультиномиальное распределение независимых случайных величин.

См. также

• Парадоксы биномиального распределения
• Биномиальное распределение Буняковского
• Биномиальное распределение двух случайных величин
• Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
• Парадоксы мультиномиального распределения
• Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
• Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
• Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

Это краткий критический анализ статьи из русскоязычной энциклопедии http://ru.math.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение - Математика.  

.