Математика
Advertisement

Ба́наховы пространства являются одними из важнейших объектов изучения в функциональном анализе. Они названы по имени Стефана Банаха, который их изучал.

Определение

Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство. Это значит, что банахово пространство — это векторное пространство V над полем вещественных или комплексных чисел с определённой в нём нормой так, что любая фундаментальная последовательность в V имеет предел, который также принадлежит V.

Примеры

Далее обозначим через K одно из полей или .

  • Евклидовы пространства Kn с евклидовой нормой, определяемой для x = (x1, …, xn) как ||x|| = (∑ |xi|2)1/2, являются банаховыми пространствами.
  • Пространство всех непрерывных функций f : [a, b] → K, определённых на закрытом интервале [a, b] будет банаховым пространством, если мы определим его норму как ||f|| = sup { |f(x)| : x в [a, b] }. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как C[a, b]. Этот пример можно обобщить к пространству C(X) всех непрерывных функций XK, где Xкомпактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций XK, где X — любое топологическое пространство, или даже к пространству B(X) всех ограниченных функций XK, где X — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются по сути банаховыми алгебрами.
  • Если p ≥ 1 — вещественное число, можно сказать, что пространство всех бесконечных последовательностей (x1, x2, x3, …) элементов из K, таких как, например, бесконечные ряды ∑ |xi|p, сходится. Если корень степени p значений этого ряда определим как p-норму такой последовательности, то наше пространство с такой нормой будет являться банаховым, а обозначаться так: l p.
  • Банахово пространство l состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из K; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных значений элементов последовательности.
  • Снова, если p ≥ 1 - вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени p этого интеграла определим как норму f. Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: f и g эквивалентны тогда и только тогда, когда норма fg равна нулю. Множество классов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как L p[a, b]. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L p-пространства.
  • Если X и Y — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму XY, которое опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
  • Если M — замкнутое подпространство банахова пространства X, то факторпространство X/M снова является банаховым.
  • Наконец, любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.

Линейные операторы

Если V и W — банаховы пространства над одним полем K, тогда множество непрерывных K-линейных отображений A : VW обозначается L(V, W). Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. L(V, W) — векторное пространство, и, если норма задана как ||A|| = sup { ||Ax|| : x in V, где ||x|| ≤ 1 }, является также и банаховым.

Пространство L(V) = L(V, V) представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

cs:Banachův prostor he:מרחב בנך hu:Banach-tér is:Banach-rúm nl:Banachruimte pl:Przestrzeń Banacha pms:Spassi ëd Banach sv:Banachrum uk:Банахів простір vi:Không gian Banach

Advertisement