Математика
Advertisement

База топологии (базис топологии, открытая база, база топологического пространства X) — семейство открытых подмножеств X такое, что каждое открытое множество является объединением элементов . Понятие базы — одно из основных в топологии. Во многих вопросах, относящихся к открытым множествам некоторого пространства, достаточно ограничиться рассмотрением элементов его базы. Пространство может иметь много баз, наибольшую из которых образует семейство всех открытых множеств.

Связанные определения

  • Минимум мощностей всех баз называется весом топологического пространства X. В пространстве веса существует всюду плотное множество мощности .
    • Пространства со счетной базой называются также пространствами со второй аксиомой счетности.
  • Существует двойственное понятие замкнутой базы, образованной дополнениями к элементам базы, но оно мало употребительно.

Локальность

Локальной базой пространства X в точке (базой точки ) называется семейство его открытых множеств, обладающее свойством: для любой окрестности точки найдется элемент такой, что . Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются также пространствами с первой аксиомой счетности. Семейство открытых в X множеств базой тогда и только тогда, когда оно является локальной базой каждой его точки .

Пусть — некоторые координатные числа. База пространства X называется -точечной, если каждая точка принадлежит не более чем элементам семейства . В частности, при база называется дизъюнктной, при конечном точечно конечной, при точечно счетной.

База пространства X называется -локальной, если для каждой точки существует ее окрестность , пересекающаяся с не более чем элементами семейства . В частности, при база называется дискретной, при конечном локально конечной, при локально счетной. База называется -точечной (-локальной), если она является объединением множества мощности -точечных (-локальных) баз. Таковы, например, при -дизъюнктные, -точечно конечные, -дискретные, -локально конечные базы.

Эти понятия находят применение главным образом в критериях метризуемости пространств. Так, пространство со счетной базой или с первой аксиомой счетности и точечно счетной базой метризуемо; регулярное пространство с -дискретной или с -локально конечной базой метризуемо (обратное верно только для первого утверждения).

Равномерность

База пространства X называется равномерной (k-равномерной), если для каждой точки (каждого бикомпактного подмножества F) и каждой ее (его) окрестности лишь конечное число элементов базы содержит x (пересекается с F) и одновременно пересекается с дополнением . Пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно является паракомпактом с равномерной базой (колмогоровским, или -пространством с k-равномерной базой).

Регулярность

Базой пространства X называется регулярной, если для каждой точки и произвольной ее окрестности существует такая окрестность , что множество всех элементов базы, пересекающихся одновременно с и , конечно. Для метризуемости достижимого или T1-пространства необходимо и достаточно наличия в нем регулярной базы.

Вариации и обобщения

  • Обобщением понятия базы является так называемая -база (решеточная база) — семейство открытых в пространстве X множеств такое, что каждое непустое открытое в X множество содержит непустое множество из , т. е. плотно в X по Xаусдорфу. Всякая база является -базой. Обратное неверно, например, в бикомпактном расширении Стоуна — Чеха в множества натуральных чисел множество образует лишь -базу.
  • Предбаза
  • Псевдобаза

Литература

  • Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948
  • Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1—2, М.—Л., 1951
  • Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в втеорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973
  • Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974
  • Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968


Эта статья содержит материал из статьи База топологии русской Википедии.

Advertisement