Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

В математике аппроксимацио́нной теоремой Вейерштра́сса называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке.

Формулировка

Пусть $f$ — непрерывная функция, определённая на отрезке $[a,b]$ . Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует такой многочлен $p$ с вещественными коэффициентами, что для любого $x$ из $[a,\;b]$ выполнено условие $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ .^[1]

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома $p$ следует считать комплексными числами.

Схема доказательства Вейерштрасса

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году^[2] как следствие более общего утверждения:

Пусть $f(x)$ при каждом вещественном значении переменной $x$ является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть $\psi (x)$ обладает теми же свойствами, что и $f$ , и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству $\psi (-x)=\psi (x)$ и для нее сходится интеграл

$\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx$ ,

который можно обозначить как $\omega$ . Если положить

$F(x,k)={\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy$ ,

то

$f(x)=\lim \limits _{k=0}F(x,k)$ .

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен $f(x)$ , но и что сходимость равномерная по $x$ , меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве

\psi (x)=e^{-x^{2}}

,

видим, что $F(x,k)$ вполне определены при всех комплексных $x$ и являются целыми функциями. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (одна из теорем Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить полиномами на любом конечном интервале. Для установления теоремы в сформулированной выше форме достаточно заметить, что любую функцию, заданную и непрерывную на отрезке, можно непрерывно продолжить на всю вещественную ось.

Более того. Если к тому же $f(x)$ периодическая функция с периодом $T$ , то $F(x,k)$ являются целыми периодическими функциями. Но тогда

F\left({\frac {T}{2\pi i}}\ln z,k\right)

является однозначной и голоморфной функцией в области $z\not =0$ и, сл-но, разлагается в ряд Лорана

F=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp {\left({\frac {2\pi }{T}}inx\right)}

,

поэтому $F(x,k)$ , а значит и $f(x)$ можно приблизить тригонометрическими полиномами.

Произвольные функции и их аналитическое представление

В середине 19 века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а Анализ занимался произвольными функциями. Ханкель определил их наиболее четко:

О функции $y$ от $x$ говорят, когда каждому значению переменной $x$ , [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение $y$ ; при этом не существенно, зависит ли $y$ от $x$ во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций.^[3]

Фраза "не существенно ... может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций" призвана подчеркнуть, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел полиномов. В дальнейшем выяснилось, что и самые патологические функции, напр., функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Другие применения

Согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

Ссылки

↑ Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
↑ Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
↑ Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261

pl:Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa sv:Stone-Weierstrass sats

[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734

[2] Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.

[3] Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261

[1]

[2]

[3]